Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної

Числові послідовності

Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність число , тоді говорять, що задано числову послідовність або .

Загальний член послідовності є функцією натурального аргументу , тобто . Надаючи різні значення , одержимо послідовність значень функції:

Наприклад, для послідовність має вигляд:

Відмітимо, що послідовність задана, якщо зазначений спосіб одержання її членів.

Виходячи з означення, послідовність завжди має нескінченну кількість елементів: будь-які два різних її елемента відрізняються принаймні своїми номерами, яких нескінченна кількість.

Послідовність називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена, тобто існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Геометрично це означає, що всі члени послідовності належать інтервалу .

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо множина її значень обмежена зверху, тобто всі її члени менше деякого числа , тобто нерівність виконується , і обмеженою знизу, якщо множина її значень обмежена знизу, тобто існує таке число , що для всіх членів послідовності .

Так послідовність із загальним членом є обмеженою; послідовність натуральних чисел обмежена знизу; послідовність цілих від'ємних чисел обмежена зверху.

Послідовність, яка не є обмеженою (зверху, знизу) називається необмеженою (зверху, знизу).

Приклад 2.1. Довести обмеженість послідовності:

.

Розв’язання. З очевидних нерівностей

,

випливає, що , тобто послідовність обмежена.

Приклад 2.2. Довести необмеженість послідовності:

.

Розв’язання. Сформулюємо заперечення означення обмеженості послідовності: .

Розглянемо . Якщо , то і , , звідки .

Для візьмемо , наприклад , тоді , звідки випливає, що послідовність необмежена.

Верхню (нижню) грань множини значень елементів послідовності називають верхньою (нижньою) гранню даної послідовності і позначають ().

Будемо називати послідовність зростаючою, якщо і спадною, якщо .

Зростаючі і спадні послідовності називають монотонними. Наприклад, послідовність спадна, послідовність зростаюча, а послідовність не є монотонною.

 

Границя послідовності

Означення 2.1. Число A називається границею числової послідовності , якщо такий, що виконується нерівність . Границю позначають: ( є скорочення латинського слова limes, що означає “границя”).

Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Нерівність можна записати у вигляді

або .

Інтервал називають –околом точки A. Виходячи з цього, можна сформулювати геометричний зміст границі послідовності: число є границею послідовності , якщо для будь-якого, довільно обраного –околу точки A, знайдеться такий номер , що всі наступні елементи послідовності (з номерами ) потраплять у –окіл точки . Поза інтервалом виявиться лише скінченна кількість елементів послідовності.

Означення 2.2. Послідовність називають нескінченно великою, якщо такий, що виконується нерівність . В цьому випадку пишуть: .

Якщо такий, що виконується нерівність (відповідно ), то пишуть: (відповідно ). В усіх цих випадках кажуть, що послідовність має нескінченну границю, рівну , або .

Приклад 2.3. Довести, що .

Розв’язання. Покажемо, що для кожного, як завгодно малого, наперед заданого числа e можна підібрати такий номер члена послідовності, що для всіх наступних номерів виконується умова . Розв’язуючи цю нерівність, одержуємо або ; тобто якщо прийняти за , то для всіх наступних членів послідовності означення границі виконується.

З означення границі послідовності випливає, що зі збільшенням порядкового номера члени послідовності необмежено близько наближаються до своєї границі, прямують до неї, тоді пишуть: при , .

Очевидно, якщо послідовність має границю, то вона обмежена. Слід зазначити, що зростаюча, обмежена зверху послідовність має границю. Аналогічно спадна, обмежена знизу послідовність також має границю.

Приклад 2.4. Довести збіжність послідовності: .

Розв’язання. Застосовуючи формулу бінома Ньютона, одержимо:

.

Оскільки при переході від до число доданків, які всі додатні, зростає і, крім того, кожен доданок збільшується. Можна записати: при , то . Враховуючи, що кожна з дужок менша одиниці і , маємо:

.

Таким чином . Тобто послідовність зростає і обмежена зверху, тобто має границю. Цю границю позначають . По більш точним оцінкам можна одержати:

.

Число 2,7182… називають неперовим числом на ім’я шотландського математика Джона Непера (1550-1617), а символ для його позначення ввів Л. Ейлер в 1728р. Можна також довести, що число є ірраціональним. Воно відіграє в математичному аналізі особливу роль.

Означення 2.3. Послідовність називають фундаментальною, якщо такий, що виконується нерівність .

Приклад 2.5. Довести, що фундаментальна.

Розв’язання. Оцінимо модуль різниці:

.

З останньої нерівності маємо , . За можна взяти, наприклад, .

Теорема 2.1. (Критерій Коші збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Означення 2.4. Послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо .

Прикладами нескінченно малих послідовностей можуть бути: , .

Наведемо властивості нескінченно малих послідовностей:

1) алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю;

2) добуток нескінченно малої і обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю;

3) добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю;

4) для того, щоб число було границею послідовності необхідно і достатньо щоб її загальний член можна було записати в вигляді , де – нескінченно мала послідовність.

За допомогою останньої властивості можна встановити наступні властивості збіжних послідовностей:

1) якщо , то ;

2) якщо послідовності та – збіжні, то послідовності також збіжні, і ;

3) якщо послідовності та – збіжні, то послідовність також збіжна, і ;

4) якщо послідовність – збіжна і , то послідовності також збіжна, і ;

5) якщо послідовності та – збіжні і , то послідовність також збіжна, і .

Наведемо твердження, які корисні при знаходженні границь:

1) якщо , то . Якщо , то ;

2) ;

3) якщо і , то .