Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
Числові послідовності Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність число , тоді говорять, що задано числову послідовність або . Загальний член послідовності є функцією натурального аргументу , тобто . Надаючи різні значення , одержимо послідовність значень функції: Наприклад, для послідовність має вигляд: Відмітимо, що послідовність задана, якщо зазначений спосіб одержання її членів. Виходячи з означення, послідовність завжди має нескінченну кількість елементів: будь-які два різних її елемента відрізняються принаймні своїми номерами, яких нескінченна кількість. Послідовність називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена, тобто існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Геометрично це означає, що всі члени послідовності належать інтервалу . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо множина її значень обмежена зверху, тобто всі її члени менше деякого числа , тобто нерівність виконується , і обмеженою знизу, якщо множина її значень обмежена знизу, тобто існує таке число , що для всіх членів послідовності . Так послідовність із загальним членом є обмеженою; послідовність натуральних чисел обмежена знизу; послідовність цілих від'ємних чисел обмежена зверху. Послідовність, яка не є обмеженою (зверху, знизу) називається необмеженою (зверху, знизу). Приклад 2.1. Довести обмеженість послідовності: . Розв’язання. З очевидних нерівностей , випливає, що , тобто послідовність обмежена. Приклад 2.2. Довести необмеженість послідовності: . Розв’язання. Сформулюємо заперечення означення обмеженості послідовності: . Розглянемо . Якщо , то і , , звідки . Для візьмемо , наприклад , тоді , звідки випливає, що послідовність необмежена. Верхню (нижню) грань множини значень елементів послідовності називають верхньою (нижньою) гранню даної послідовності і позначають (). Будемо називати послідовність зростаючою, якщо і спадною, якщо . Зростаючі і спадні послідовності називають монотонними. Наприклад, послідовність спадна, послідовність зростаюча, а послідовність не є монотонною.
Границя послідовності Означення 2.1. Число A називається границею числової послідовності , якщо такий, що виконується нерівність . Границю позначають: ( є скорочення латинського слова limes, що означає “границя”).
Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною. Нерівність можна записати у вигляді або . Інтервал називають –околом точки A. Виходячи з цього, можна сформулювати геометричний зміст границі послідовності: число є границею послідовності , якщо для будь-якого, довільно обраного –околу точки A, знайдеться такий номер , що всі наступні елементи послідовності (з номерами ) потраплять у –окіл точки . Поза інтервалом виявиться лише скінченна кількість елементів послідовності. Означення 2.2. Послідовність називають нескінченно великою, якщо такий, що виконується нерівність . В цьому випадку пишуть: . Якщо такий, що виконується нерівність (відповідно ), то пишуть: (відповідно ). В усіх цих випадках кажуть, що послідовність має нескінченну границю, рівну , або . Приклад 2.3. Довести, що . Розв’язання. Покажемо, що для кожного, як завгодно малого, наперед заданого числа e можна підібрати такий номер члена послідовності, що для всіх наступних номерів виконується умова . Розв’язуючи цю нерівність, одержуємо або ; тобто якщо прийняти за , то для всіх наступних членів послідовності означення границі виконується. З означення границі послідовності випливає, що зі збільшенням порядкового номера члени послідовності необмежено близько наближаються до своєї границі, прямують до неї, тоді пишуть: при , . Очевидно, якщо послідовність має границю, то вона обмежена. Слід зазначити, що зростаюча, обмежена зверху послідовність має границю. Аналогічно спадна, обмежена знизу послідовність також має границю. Приклад 2.4. Довести збіжність послідовності: . Розв’язання. Застосовуючи формулу бінома Ньютона, одержимо: . Оскільки при переході від до число доданків, які всі додатні, зростає і, крім того, кожен доданок збільшується. Можна записати: при , то . Враховуючи, що кожна з дужок менша одиниці і , маємо: . Таким чином . Тобто послідовність зростає і обмежена зверху, тобто має границю. Цю границю позначають . По більш точним оцінкам можна одержати:
. Число 2,7182… називають неперовим числом на ім’я шотландського математика Джона Непера (1550-1617), а символ для його позначення ввів Л. Ейлер в 1728р. Можна також довести, що число є ірраціональним. Воно відіграє в математичному аналізі особливу роль. Означення 2.3. Послідовність називають фундаментальною, якщо такий, що виконується нерівність . Приклад 2.5. Довести, що фундаментальна. Розв’язання. Оцінимо модуль різниці: . З останньої нерівності маємо , . За можна взяти, наприклад, . Теорема 2.1. (Критерій Коші збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною. Означення 2.4. Послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо . Прикладами нескінченно малих послідовностей можуть бути: , . Наведемо властивості нескінченно малих послідовностей: 1) алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю; 2) добуток нескінченно малої і обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю; 3) добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю; 4) для того, щоб число було границею послідовності необхідно і достатньо щоб її загальний член можна було записати в вигляді , де – нескінченно мала послідовність. За допомогою останньої властивості можна встановити наступні властивості збіжних послідовностей: 1) якщо , то ; 2) якщо послідовності та – збіжні, то послідовності також збіжні, і ; 3) якщо послідовності та – збіжні, то послідовність також збіжна, і ; 4) якщо послідовність – збіжна і , то послідовності також збіжна, і ; 5) якщо послідовності та – збіжні і , то послідовність також збіжна, і . Наведемо твердження, які корисні при знаходженні границь: 1) якщо , то . Якщо , то ; 2) ; 3) якщо і , то .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 540; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.140.108 (0.023 с.) |