Приравняв правые части двух уравнений, получим

 

 

Правая и левая части этого уравнения имеют разные знаки, следовательно, увеличение скорости течения в канале ds > 0 возможно лишь при уменьшении давления в нем (dp < 0). И, наоборот, торможение потока dc < 0 сопровождается увеличением давления dp > 0.

Каналы, в которых происходит разгон газа, называются соплами.

Каналы, предназначенные для торможения потока, называются диффузорами.

Так как длина сопла и диффузора невелика, а скорость течения среды в них достаточно высока, то можно считать, что теплообмена между стенками канала и средой нет(q _внеш = 0), и тогда уравнение первого закона термодинамики для потока примет вид

. (8)

То есть ускорение адиабатного потока происходит за счет уменьшения энтальпии, а торможение потока вызывает увеличение энтальпии.

Истечение из суживающегося сопла

Расчет сопла сводится к определению скорости на выходе, нахождению F и правильному выбору его формы.

Рассмотрим процесс равновесного (без трения) адиабатного истечения газа через сопло из резервуара. Скорость газа на входе c ₁, давление на выходе p ₂ = p _{окр ср.}.

Из уравнения (8) запишем чему, равна скорость истечения газа

.

Если принять площадь входного сопла достаточно большой, то с ₁ = 0 и с ₂ представлено ниже

, (9)

 

где Δi₀ = i ₁ – i ₂ = u ₁ – u ₂ + (p₁v₁ – p ₂ v ₂) – располагаемый адиабатный перепад.

Для идеального газа в адиабатном процессе u ₁ – u ₂ = ℓ мы вычисляем по формуле (7), (), поэтому можем записать

.

 

Тогда скорость

.

Так как процесс адиабатный, то () – это мы получили в главе «термодинамический и газовый процессы». (10)

Массовый расход газа

Массовый расход газа m, кг/с, через сопло

 

, (11)

где F – площадь выходного сечения сопла, м².

Если подставить в эту формулу значение с₂ из формулы (10), то получим

 

. (12)

 

Из выражения (12) получим, что массовый секундный расход идеального газа при истечении из большого резервуара зависит от площади выходного сечения сопла F, свойств k, начальных параметров газа (P ₁, V ₁) и степени его расширения (то есть давления P ₂ газа на выходе).

По уравнению (12) построена кривая OK1(рис.26).

Рис. 26

Рассмотрим данный график. При p ₂ = p ₁ расход m = 0. С уменьшением давления среды p ₂ расход газа увеличивается и достигает максимального значения при P ₂/ P ₁ = β _кр. При дальнейшем уменьшении отношения давлений значение расхода m убывает и при P ₂ /P ₁ становится равным нулю.

Сравнение описанной зависимости с экспериментальными данными показало, что для β _кр < P ₂/ P ₁ < 1 результаты совпадают, а для 0 < P ₂/ P ₁ < β _кр – расходятся. Здесь действительный массовый расход остается постоянным (прямая KD). Объяснение этому было дано Сен-Венаном в гипотезе о том, что в суживающемся сопле невозможно получить давление газа ниже некоторого критического значения p _кр, соответствующего максимальному расходу газа через сопло. Как бы мы ни понижали давление P ₂ среды, куда происходит истечение, давление на выходе из сопла остается постоянным и равным p _кр.

Для отыскания максимума функции m уравнения (12) при p ₁ = const, соответствующего значению β _кр, возьмем первую производную от выражения в квадратных скобках и приравняем ее нулю

.

 

Отсюда получим

. (13)

то есть отношение критического давления на выходе P ₂ = P _кр к давлению перед соплом P ₁ есть величина постоянная, зависящая только от показателя адиабаты, то есть от природы рабочего тела.

Мы уже знаем: для одноатомного газа k = 1,66, для двухатомного k = 1,4, для трехатомного газа и перегретого водяного пара k = 1,3.

Тогда для одноатомного β_кр = 0,49;

двухатомного β_кр = 0,528;

трехатомного β_кр = 0,546.

Таким образом, изменение β_кр невелико и для оценочных расчетов можно принять β_кр = 0,5.

Критическую скорость можно определить из уравнения (10), подставив в него вместо отношения давлений P ₂/ P ₁ значение β_кр

 

. (14)

Величина критической скорости определяется физическими свойствами и начальными параметрами газа.

Из уравнения адиабаты следует

. (15)

Заменяя отношение давлений на β_кр, согласно (13) получим

. (16)

Подставляя значение P ₁ из (16) и P ₁ из уравнения (15) в формулу для определения c _кр (14), получим

. (17)

В физике выражение = a есть скорость распространения звука в среде. Таким образом, критическая скорость газа при истечении равна местной скорости звука в выходном сечении сопла.