Сложное ндс как суперпозиция чистого и простого сдвигов.

Теоретическое обоснование метода основано на теореме, утверждающей, что любое сложное НДС может быть получено суперпозицией двух простых видов деформирования, например, двух растяжений по главным осям ([[261]], с. 42). Нами принята суперпозиция чистого и простого сдвигов (рис. 2.3.1). С одной стороны, такие условия деформирования характерны для резины между нитями корда, с другой - это удобно для предлагаемой практической реализации в виде дополнительной оснастки к стандартной разрывной машине (см. раздел 2.7).

Схема деформирования при суперпозиции чистого и простого сдвигов приведена на рис. 2.3.1 и 2.3.2. l_y = y/y₀ - величина деформации чистого сдвига по оси Y; g = tg j - величина простого сдвига вдоль оси X.

При сдвиге [5] деформации по главным осям связаны соотношениями:

L₁ × L₂ = 1, L₃ = 1. (2.3.1)

Главные оси «1» и «2» лежат в плоскости рисунка. Здесь и далее использовано условие несжимаемости резины:

L₁ × L₂ × L₂ = 1. (2.3.2)

Простой сдвиг от чистого сдвига отличается способом реализации (рис. 2.3.1), а также тем, что при простом сдвиге, в отличие от чистого, происходит поворот главных осей относительно деформируемого тела.

Для определения направлений главных осей деформации введем единичный вектор i, расположенный под углом y к оси Y (рис.2.3.2).

В результате деформирования i перейдет в i'. Длина вектора i' зависит от y. Требуется найти значения y и y¢, при которых длина i' имеет максимальное и минимальное значения. Углы и определяют главные направления, которые отличаются на 90⁰, а значения и - величины главных удлинений.

Исходные проекции i на оси координат:

. (2.3.3)

В результате деформации чистого сдвига:

. (2.3.4)

Деформация простого сдвига g по оси x, приложенная после чистого сдвига, приводит к соотношениям:

. (2.3.5)

Квадрат длины вектора i ¢ определяется соотношением, следующим из (2.3.5):

. (2.3.6)

Условие экстремума для длины вектора i ¢:

.

Продифференцировав выражение (2.3.6), получим:

. (2.3.7)

Из (2.3.7) найдем значение угла y, при котором экстремален:

. (2.3.8)

Направления главных осей определяются углом y¢ (рис. 2.3.2), который связан с углом y соотношением:

. (2.3.9)

Из (2.3.8) можно получить значение для tgy, соответствующее направлениям главных осей:

. (2.3.10)

Подставив (2.3.10) в (2.3.9), получим

. (2.3.11)

Перпендикулярность главных осей следует из соотношений

tgy₁× tgy₂= -1

tgy₁^¢× tgy₂^¢= -1, (2.3.12)

справедливость которых легко проверяется прямой подстановкой.

Удлинения по главным осям L₁ и L₂ определяются по формуле (2.3.6) подстановкой значений tgy₁ и tgy₂ из (2.3.10):

. (2.3.13)

Изложим иной способ расчета главных удлинений и главных направлений. Рассмотрим эллипс, в который превращается единичная окружность после наложения деформаций чистого и простого сдвигов (рис. 2.3.2). Его уравнение может быть получено из соотношений, следующих из (2.3.5):

(2.3.14)

Здесь:

x, y – координаты точек единичной окружности до деформирования;

X, Y – координаты точек эллипса (центр окружности и центр эллипса находятся в начале координат).

Из (2.3.14) получим

(2.3.15)

Для нахождения главных осей построим характеристическое уравнение (l - корни характеристического уравнения):

.

Его решение:

(2.3.16)

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде:

Главные удлинения, равные полуосям эллипса a и b, определяются соотношениями [[262]]:

,

(2.3.17)

Угол y¢, определяющий направление главных осей, задается соотношением [[263]]

(2.3.18)

Легко показать, что направления главных осей из (2.3.18) совпадают с (2.3.11).

Таким образом, задача построения инвариантов тензора деформации, исходя из величин простого сдвига g и чистого сдвига l_y, решена.

В Приложении 1 дано решение задачи Вайссенберга с использованием результатов данного раздела.