ТОП 10:

Свойства резин в сложном НДС



 

Возвращаясь к уравнению (2.6.8), воспользуемся формулами (П.2.7) (Приложение 2) для выражения главных условных напряжений f1 и f2 через производные упругого потенциала. В результате из (2.6.8) получится уравнение, которое будет строго выполняться, если аналитическое выражение для U идеально хорошо описывает эксперимент. Практически задача сводится, как и прежде, к минимизации функционала (2.2.4) или (2.2.4-1). Ее решение осуществляли численно методом многопараметрической оптимизации, описанным выше.

Испытания проводили для каждого резинового образца девять раз, по числу сменных боковых планок рамки. Каждое следующее испытание проводили через время, достаточное для релаксации напряжения после предыдущего испытания. В результате каждого испытания записывали от 800 до 1200 пар значений l12 и F.

Кроме испытаний на одноосное растяжение и с помощью рамки, для получения более полной информации о виде потенциальной поверхности проводили испытания образцов в виде пробки на сжатие.

В таблице 2.7.1 приведены полные результаты аппроксимации всех полученных экспериментальных данных теми же аналитическими выражениями, которые использованы для одноосного растяжения (табл. 2.2.1). Предложенные в данной работе потенциалы использовались в инвариантном виде (2.2.12).

 

Таблица 2.7.1 Результаты аппроксимации экспериментальных данных, полученных в сложном НДС, потенциалами, приведенными в разделе 2.2 и потенциалами (2.2.12). Минимизируемый функционал (2.2.4).

 

    Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
1. Изотропный потенциал (Хазанович)   3.69823 0.00005 0.08444
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 0.87745   0.00005 0.11254
3. Валанис-Ландел 3.54870 0.0000008 0.105254
4. Потенциал Муни-Ривлина -0.05709 1.05046 0.00074 0.07724  
5. Потенциал Муни-Ривлина -0.05607 1.04875 0.00005 0.07724
6. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы 0.27935 0.72161 -0.04921 0.000074 0.074332
7. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы 0.25016 0.75275 -0.04648 0.00074 0.074346
8. Потенциал Муни-Ривлина + Хазановича -0.56880 4.26582 0.50609 0.00074 0.072242
9. Потенциал Муни-Ривлина + Хазановича -0.56634 4.25890 0.50454 0.00005 0.072246
10. Потенциал Черных 1.89329 1.20524 0.84007 0.00074 0.080262
11. Потенциал Черных 0.12176 1.90783 -0.03145 0.00005 0.077135
12. Потенциал Черных 2.1183 1.1443 0.19375 0.00001 0.080263
13. Потенциал Харт-Смита 0.765017 -0.05120 0.00103 0.0000006 0.027562
14. Потенциал Огдена 6.70966 0.225774 2.00067 1.11334 0.0000004 0.081387
15. Потенциал Огдена -3 -3 5.30863 0.18259 -2.69266 -1.05567   0.0000008   0.072773
16. Потенциал Огдена -0.1 -2 -2   -0.09728 2.02354 -4.62299 -0.90384 0.0000005 0.071728
17. Потенциал Огдена 0.1 -0.1 -2 0.23988 -0.17799 -5.16934 -0.77043 0.0000008 0.07219
18. Потенциал Александера 0.305451 0.159208 0.149118 -0.043736 0.00008 0.052957
19. Потенциал Александера 0.616627 0.159174 0.149060 -0.354752 0.0001 0.052957
20. Потенциал Александера 0.7 0.7 -0.7 0.873073 0.158937 0.148794 -0.61112 0.00008 0.052957
21. Потенциал Александера -0.5 0.69816 5.52392 3.9486 -1.11907 0.00001 0.098356
22. Потенциал Бидермана 0.001 1.01857 0.055804 -0.416731 0.123690 0.0000008 0.05858
23. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 1.15524 1.51532 0.140205 0.631571 0.0000008 0.01240
24. Логарифмический усеченный потенциал -0.27004 0.76258 3.56504 0.00008 0.04576  
25. Логарифмический усеченный потенциал -2 0.5 0.5 -0.27581 0.77667 3.53270 0.00009 0.04576
26. Логарифмический усеченный потенциал -0.26818 0.75860 3.57403 0.00007 0.04576
27. Логарифмический потенциал 1 (степень 6) -0.13832 0.23032 0.46072 0.00461 0.102537
28. Логарифмический потенциал 1 (степень 6) -0.07749 0.26829 0.99195 0.00074 0.067164
29. Логарифмический потенциал 1 (степень 6)   -0.04008 0.35178 2.42311 0.00005 0.042586
30. Логарифмический потенциал 1 (степень 4) -0.11067 0.65656 1.64325 0.00461 0.038325
31. Логарифмический потенциал 1 (степень 2) 0.83944 3.14199 13.56863 0.00461 0.025720
32. Логарифмический потенциал 1 (степень 1) 5.11812 15.82145 90.71827 0.00461 0.025901
33. Логарифмический потенциал 1   1.74963 23.1867 1135.42 1.71799 0.0089 0.012257
34. Логарифмический потенциал 1 1.84886 26.1514 1333.56 1.6808 0.00001 0.012240
35. Логарифмический потенциал 2 (степень 2) -3 1.09184 -0.22942 11.01453 0.00074 0.019140
36. Логарифмический потенциал 2 (степень 2) -0.23 1.14615 -0.17602 16.89788 0.00005 0.016412
37. Логарифмический потенциал 2 -1 2.2842 -0.086807 176.74 1.5551 0.000074 0.012404
38. Дробно-линейный потенциал (степень 2) -2 1.03543 -0.13894 3.87990 0.00074 0.024191
39. Дробно-линейный потенциал (степень 2) -2 1.09149 -0.07799 5.44501 0.00005 0.020804
40. Дробно-линейный потенциал (степень 3) -2 0.35736 -0.10645 3.51084 0.00005 0.021314
41. Дробно-линейный потенциал (степень 1) -1 6.0343 -0.0003303 567.05 0.000082 0.013387
42. Дробно-линейный потенциал -1 2.3429 -0.0018603 86.7162 1.5404 0.00005 0.012514
43. Экспоненциальный потенциал (степень 2) 2.16520 12.96520 1.13618 .00461 0.021163
44. Экспоненциальный потенциал (степень 2)   5.33471 70.02941 1.28402 0.00007 0.014161
45. Экспоненциальный потенциал (степень 1)   62.695 683.17 6.0485 0.00007 0.013385
46. Экспоненциальный потенциал   13.207 176.85 2.5507 1.4892 0.00005 0.012693
47. Экспоненциальный потенциал 13.378 176.05 2.5824 1.4799 0.0000077 0.012689
48. 48 Степенной потенциал 1.5 2.4634 3.8251 48.664 1.5044 0.000001 0.009350

 

Общее замечание ко всей таблице следующее. В графе «число шагов счета» стоят существенно различающиеся числа. Это связано с тем, что для разных вариантов использовался разный алгоритм. Малое число шагов соответствует «овражному» варианту. Результаты показывают, что оба варианта работают, но с разной скоростью. Примеры – позиции 11 и 12; 28 и 29.

Видно, что из однопараметрических потенциалов лучше работает потенциал Хазановича. Такой же вывод был сделан по результатам аппроксимации одноосного растяжения, но там дисперсия была в три раза больше. Можно заключить, что однопараметрические потенциалы лучше работают во всей области деформирования, чем только при одноосном растяжении.

Двухпараметрический потенциал Муни- Ривлина совсем ненамного лучше однопараметрического Хазановича. Здесь ситуация, похожая на ту, что наблюдалась для ненаполненных резин [42, 43, 44], где был сделан вывод о предпочтении потенциала Хазановича неогуковскому.

Трехпараметрические потенциалы, как и по результатам обработки одноосного растяжения, существенно различаются по точности описания эксперимента. Потенциал Исихары и др. практически не лучше Муни- Ривлина. Причем его константы и точность аппроксимации не зависят ни от точности задания шага поиска (графа «точность определения констант»), ни от исходных значений констант. Среднеквадратическое отклонение порядка 28% слишком велико.

О потенциале Муни- Ривлин + Хазанович можно сказать те же слова.

Потенциал Черных относится к той же категории, но здесь налицо существенное влияние начального приближения на конечные значения констант, хотя точность на это реагирует слабо, оставаясь в пределах тех же 27% среднеквадратического отклонения.

Существенно лучше других потенциал Харт-Смита. Значение S = 16.6% говорит само за себя. Этот потенциал превосходит, как мы увидим ниже, все известные четырехпараметрические потенциалы, кроме одного из них. Кроме того, этот потенциал вполне можно перевести в разряд двухпараметрических, т.к. его третий параметр, являющийся множителем перед слагаемым со вторым инвариантом тензора деформации, во всех случаях близок к нулю.

Из известных четырехпараметрических потенциалы Александера и Бидермана по дисперсии заметно лучше потенциала Огдена, хотя по среднеквадратическому отклонению это не так бросается в глаза. Обращает на себя внимание одинаковая точность потенциала Огдена и большинства описанных выше трехпараметрических потенциалов. Но заметно выделяется потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла, для которого S= 11%.

Прежде чем перейти к анализу предложенных нами выражений, обратим внимание на следующее. Потенциалы (2.2.12) содержат три параметра. Однако из них можно сделать четырехпараметрические, рассматривая в качестве четвертого параметра показатель n инварианта (2.2.10). Из содержания таблицы 2.7.1 понятно, когда рассматриваются 3, а когда 4 параметра. В случае трех параметров в скобках добавлено число, указывающее значение n.

Для этих потенциалов налицо существенное (в 4 раза и более) уменьшение дисперсии в оптимальных вариантах всех четырех выражений (2.2.12) по сравнению с потенциалами Александера и Бидермана. Среднеквадратическое отклонение расчета от эксперимента S для них составляет 11%, т.е. такое же, как и для потенциала Блатца и др.

Итак, из известных ранее потенциалов для описания свойств наполненных шинных резин в области малых и средних деформаций в условиях сложного НДС хорошо себя проявили два выражения – Харт-Смита (3 параметра) и Блатца, Шарды, Чоэгла (4 параметра). Второй из них также хорошо сработал и в случае одноосного растяжения, а Харт-Смит там не выделился. Все из предложенных нами выражений показали хорошие результаты в этих двух случаях.

На примере логарифмического 1 видно, что для значения n = 6 точность описания эксперимента существенно зависит от точности определения констант (позиции 27-29).

Интересен следующий результат. Для всех четырех потенциалов оптимальное значение степени инварианта n близко к 1.5. (Лишь для логарифмического 1 оно составляет 1.7). Можно сделать практический вывод о том, что достаточно использовать потенциалы с тремя параметрами, задав четвертый равным 1.5.

На примере экспоненциального потенциала (позиции 43-44 и 46-47) видно, что и здесь точность определения констант существенно влияет на точность результата. Вполне достаточной является величина 10-6.

Важная роль константы, ответственной за скорость изменения модуля в области малых деформаций, демонстрируется на примере усеченного логарифмического потенциала (выражение (2.2.5)), лишенного этой константы (позиции 24 - 26) Хотя этот потенциал и ведет себя лучше многих известных ранее, даже четырехпараметрических, он заметно хуже, чем потенциалы (2.2.12). Попутно отметим, что существенно разные начальные приближения дают один и тот же результат.

Теперь попробуем ответить на вопрос: а можно ли строить упругий потенциал только по данным одноосного растяжения? Насколько мы ошибемся, если будем этот потенциал использовать для описания произвольного сложного НДС? Может быть, правы авторы работ [63, 65, 66], которые так и рекомендуют поступать, и незачем городить весь этот огород со сложным НДС?

Ответ на этот вопрос дают результаты, приведенные в таблице 2.7.2. В графе «дисперсия» приведены данные для одноосного растяжения и в скобках – точность аппроксимации остального эксперимента (использованы те же экспериментальные данные, что и при построении предыдущей таблицы).

Внимательный читатель может нас заподозрить в повторе. Действительно, в таблице 2.2.1 уже были приведены данные по одноосному растяжению. И в таблице 2.7.2 для всех потенциалов, кроме предлагаемых нами, данные те же, что и в упомянутой таблице 2.2.1. Наши же потенциалы другие. Прежде они соответствовали выражениям (2.2.3), теперь – (2.2.12). Теперь они в инвариантном виде.

 

Таблица 2.7.2. Результаты аппроксимации экспериментальных данных в условиях одноосного растяжения для потенциалов, использованных в табл. 2.2.1. В столбце «дисперсия» в скобках приведены значения дисперсии для сложного НДС. Минимизируемый функционал (2.2.4).

 

  Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
1. Изотропный потенциал (Хазанович) 5.81791 0.0000004 0.24113 (0.20598)
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 1.43913   0.0000006 0.29112 (0.24767)
3. Потенциал Валаниса-Ландела 5.75895 0.0000007 0.282812 (0.23706)  
4. Потенциал Муни-Ривлина -1.02944 2.85579 0.0000006 0.11135 (0.21960)
5. Неогуковский + изотропный 3.83096 22.2469 0.0000008 0.13902 (0.17475)  
6. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы -4.8324 6.94889 0.69385 0.0000007 0.05618 (0.34003)
7. Потенциал Муни-Ривлина + изотропный 11.6831 14.5994 -96.3616 0.0000001 0.04835 (0.38871)
8. Потенциал Черных -0.72132 3.09136 -1.68302 0.0000003 0.108033 (0.25087)
9. Потенциал Харт-Смита 2.5 1.5 0.5 0.91895 -0.2211 0.00084 0.0000004 0.04466 (0.07617)
10. Потенциал Огдена -1 -3 -2 -3.8134 2.82439 -2.8082 -7.15203 0.0000004 0.039422 (0.54313)
11. Потенциал Александера 0.28891 0.02215 0.00930 0.14955 0.0000006 0.02486 (0.10169)
12. Потенциал Бидермана -4.09289 6.19243 0.38756 0.10874 0.0000005 0.06356 (0.33054)
13. Потенциал Бидермана -8.10811 10.3845 1.96623 -0.42472 0.0000005 0.03954 (0.38599)
14. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 25.5776 1.08370 -23.1798 1.02671 0.0000004 0.04115 (0.06477)
15. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла -1 2.43014 4.23522 -2.22081 1.01936 0.0000008 0.03116 (0.05012)
16. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 1.14647 1.46063 0.32740 0.68670 0.0000006 0.002211 (0.022931)
17. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 0.5 0.5 1.5 1.5 3.63007 0.90009 0.42074 0.65548 0.0000009 0.003463 (0.027078)
18. Логарифмический усеченный потенциал -0.99983 1.41078 3.22549 0.0000006 0.10445 (0.12809)  
19. Логарифмический потенциал 1 0.88858 10.8374 281.826 2.22639 0.0000007 0.00134 (0.02009)
20. Логарифмический потенциал 2 -1 1.56234 -0.13946 82.2573 1.83691 0.000007 0.002088 (0.020809)
21. Дробно-линейный потенциал -3 3.41993 -0.00355 82.4153 1.31900 0.0000004 0.002612 (0.023036)
22. Экспоненциальный потенциал 15.9637 123.976 2.62546 1.46345 0.0000004 0.003097 (0.02236)
               

 

Анализ полученных результатов дает следующее.

Выражения (2.2.12) описывают одноосное растяжение с той же точностью, что и (2.2.3). Следовательно, в строгом смысле произвольный способ перехода от одноосного растяжения к инвариантному виду оказался удачным, что мы и предполагали. Это первый существенный вывод. Второй заключается в том, что если прогнозировать поведение резины в сложном НДС на основе данных, полученных в условиях одноосного растяжения, то можно ошибиться в 1.5 - 4 раза по среднеквадратическому отклонению.

В следующей таблице 2.7.3 приведены аналогичные результаты, но полученные минимизацией функционала (2.2.4-1).

 

Таблица 2.7.3. Результаты аппроксимации зависимостей одноосного растяжения выражениями, построенными в инвариантном виде. Минимизируемый функционал (2.2.4-1).

 

  Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
 
1. Изотропный потенциал (Хазанович)   3.64310 0.0000007 0.058313 (0.040004)
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 0.79130   0.0000006 0.07726 (0.03977)
3. Потенциал Муни-Ривлина -1 -1.02944 2.85579 0.0000005 0.03901 (0.19524)
4. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы -4.8324 6.94889 0.69385 0.0000008 0.020912 (1.34432)
5. Потенциал Муни-Ривлина + изотропный -0.20117 1.51001 -0.32469 0.0000008 0.038965 (0.220137)
6. Потенциал Черных -0.27027 2.34790 -17.9111 0.0000005 0.038218 (0.23637)
7. Потенциал Харт-Смита   0.86216 -0.19938 0.00020 0.0000005 0.038347 (0.05005)
8. Потенциал Огдена -2 -6 -2 -8.58887 1.10463 -3.11124 -5.24777 0.0000008 0.016403 (11.7234)
9. Потенциал Александера 0.46584 0.03564 0.02508 -0.06124 0.0000006 0.015551 (0.100643)
10. Потенциал Бидермана -4.34133 6.01489 1.04279 -0.20567 0.0000005 0.016669 (2.50172)
11. Потенциал Бидермана -4.15280 5.80957 0.98010 -0.18670 0.0000005 0.01684 (2.36143)
12. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла -5 -2 -5 -2 -6.53948 -2.87546 7.09454 0.99412 0.000001 0.02363 (0.20534)
13. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла   2.82437 3.33769-2.52699 1.02224 0.0000007 0.015426 (0.054927)
14. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 2.27619 1.09237 0.39387 0.66501 0.0000004 0.002816 (0.07407)
15. Логарифмический усеченный потенциал -1 -0.28992 0.68048 3.84942 0.0000009 0.034604 (0.043226)  
16. Логарифмический потенциал 1 1.18802 14.7790 392.633 1.99151 0.0000005 0.001409 (0.07758)
17. Логарифмический потенциал 2 -5 1.83697 -0.14661 86.3353 1.71101 0.000006 0.002157 (0.082837)
18. Дробно-линейный потенциал 14.3120 -0.000279 1559.25 0.67915 0.0000004 0.0036024 (0.081468)
19. Дробно-линейный потенциал -2 1.074305 -0.005895 43.0716 1.76053 0.0000006 0.0025096 (0.083338)
20. Экспоненциальный потенциал 12.2431 102.466 2.23110 1.59459 0.0000005 0.003259 (0.085034)

 

Для функционала (2.2.4-1) лучшие значения дисперсии находятся на том же уровне, что и для функционала (2.2.4), табл. 2.7.2. Однако для малопараметрических потенциалов описание эксперимента более точное. Что касается прогноза свойств по результатам одноосного растяжения, то ситуация, как и прежде, неудовлетворительная. Ошибка в сложном НДС может быть непредсказуемо велика (Исихара и др., позиция 4; Огден, позиция 8). Лучшее предсказание по одноосному растяжению не гарантирует лучшего предсказания в сложном НДС (Блатц и др., позиции 13 и 14).

Тот результат, что прогнозировать свойства в сложном НДС рискованно по данным одноосного растяжения, подтверждает выводы из работы [34]. Возникает вопрос: может быть, достаточно добавить к одноосному растяжению одноосное сжатие, и этого будет достаточно? В следующей таблице дана проверка этого предположения.

 

Таблица 2.7.4 Результаты аппроксимации эксперимента по одноосному растяжению-сжатию. Минимизируется функционал (2.24-1).

 

  Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
1. Изотропный потенциал (Хазанович) 3.52191 0.0000005 0.04155 (0.02754)
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 0.85330   0.0000007 0.05160 (0.06161)
3. Потенциал Валаниса-Ландела 3.44201 0.0000009 0.04401 (0.05058)
4. Потенциал Муни-Ривлина 0.65495 0.19574 0.0000007 0.04747 (0.04021)
5. Неогуковский + изотропный -0.09919 3.92702 0.0000005 0.04143 (0.02537)
6. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы 1.14116 -0.14745 -0.21083 0.0000008 0.03122 (0.08248)
7. Потенциал Муни-Ривлина + изотропный -1.88126 -0.89081 14.9964 0.0000008 0.02837 (0.04696)
8. Потенциал Черных 4.26953 0.70695 -149.067 0.0000006 0.04359 (0.02174)
9. Потенциал Харт-Смита 0.1 0.1 0.1 0.89963 -0.29208 0.000027 0.0000006 0.03477 (0.06008)  
10. Потенциал Огдена 0.1 0.1 0.1 0.1 3.14914 0.98874 0.39155 1.04181 0.0000008 0.041548 (0.027423)
11. Потенциал Александера     0.17173 0.52240 0.59369 -0.05704 0.0000006 0.019205 (0.07606)
12. Потенциал Бидермана   1.17618 -0.06886 -0.70602 0.30137 0.0000007 0.01734 (0.20971)
13. Потенциал Блатца, Шарды, Чогла 1.23704 1.12997 1.06692 0.85017 0.0000005 0.00598 (0.02772)  
14. Логарифмический усеченный потенциал -0.63284 1.18931 2.93822 0.0000006 0.01190 (0.04922)  
15. Логарифмический потенциал 1 1.37759 4.94229 35.8217 1.76573 0.0000004 0.00138 (0.03636)
16. Логарифмический потенциал 2 1.70703 -0.24054 14.6372 1.68958 0.0000008 0.001237 (0.03662)
17. Дробно-линейный потенциал 1.13116 -0.08270 5.38986 1.99243 0.0000009 0.00173 (0.03876)
18. Экспоненциальный потенциал 3.23737 20.9082 1.88359 1.66654 0.0000008 0.00128 (0.03699)

 

Из результатов этой таблицы следует, что, как и прежде, потенциалы (2.2.12) заметно лучше других, но ошибки в сложном НДС слишком велики. Они несколько меньше, чем для случая использования только одноосного растяжения, но все-таки велики. Итак, для повышения точности расчета констант потенциалов требуется проводить испытания в сложном НДС. С помощью предложенной нами рамки это не слишком утомительно.

То, что по результатам растяжения-сжатия плохо прогнозировать поведение резины в сложном НДС, было известно и раньше. Это, например, убедительно аргументировано в монографии Уорда [34]. Правда, там вывод сделан для ненаполненных резин. Теперь мы можем распространить его на наполненные резины.

Для полноты картины приведем результаты аппроксимации полного эксперимента в сложном НДС для функционала (2.2.4-1).

 

Таблица 2.7.5. Результаты аппроксимации эксперимента в сложном НДС. Минимизируется функционал (2.24-1).

 

  Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
1. Изотропный потенциал (Хазанович) 3.1824 0.0000004 0.01634
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 0.71459   0.0000004 0.02488    
3. Потенциал Валаниса-Ландела 2.93445 0.0000008 0.02217
4. Потенциал Муни-Ривлина 0.38936 0.38801 0.0000006 0.01761
5. Неогуковский + изотропный -0.08496 3.55754 0.0000006 0.01625
6. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы 0.49916 0.29297 -0.02249 0.0000008 0.01677
7. Потенциал Муни-Ривлина + изотропный 0.02326 0.11952 2.63061 0.0000004 0.01614
8. Потенциал Черных 2.25805 1.00018 -.497088 0.0000008 0.01625
9. Потенциал Харт-Смита 0.73927 -0.04883 0.000041 0.0000006 0.02055
10. Потенциал Огдена 1.11379 0.701572 2.94550 0.83130 0.0000006 0.01617
11. Потенциал Александера -0.003655 0.215467 0.33603 0.24555 0.0000006 0.02165
12. Потенциал Бидермана 0.67846 0.16361 -0.15994 0.04857 0.0000004 0.01320
13. Потенциал Блатца, Шарды, Чогла   1.13381 1.15303 1.11253 0.93335 0.0000008 0.01295
14. Логарифмический усеченный потенциал 0.01 3.2 0.210547 1.68918 2.05962 0.0000004 0.01422
15. Логарифмический потенциал 1 2.03885 3.61953 33.8580 1.59387 0.0000006 0.01212
16. Логарифмический потенциал 2 1.20980 -0.21147 4.71235 1.95712 0.0000009 0.01210
17. Дробно-линейный потенциал 1.27131 -0.09836 3.15038 1.93802 0.0000007 0.01205
18. Экспоненциальный потенциал 0.94996 8.35579 1.42207 1.87049 0.0000009 0.01191

 

Эксперимент, по которому строилась таблица 2.7.5, несколько скорректирован. Коррекция носит технический характер и заключается в стыковке данных растяжения и сжатия. Желательность стыковки вызвана наличием некоторого малого значения начального натяжения образца, необходимого для его выпрямления перед испытаниями. Эта процедура тонкая, а так как испытания претендуют на прецизионность, следует оценить влияние этого предварительного натяжения на результаты. Из сравнения результатов таблиц 2.7.1 и 2.6.5 видно, что погрешности лучших потенциалов остались на уровне того, что было в таблице 2.7.1. Изменилось то, что значительно сблизились дисперсии всех потенциалов. Особенно это заметно на однопараметрическом потенциале Хазановича. Но ранжирование потенциалов осталось прежним.

Возникает вопрос: какому из функционалов - (2.2.4) или (2.2.4-1) – отдать предпочтение? Какой дает более правильные результаты? Ответ следующий. Те соображения, которые были высказаны в разделе 2.2, подтвердились. Более чувствительным оказался функционал (2.2.4). Этот вывод остается в силе и для скорректированного эксперимента (см. предыдущий абзац).

Следующее соображение имеет общий характер. Существует проблема правильного задания исходных значений констант, о чем уже говорилось выше. Часто точность решения существенно зависит от выбора начального приближения. Повторим, что эта проблема фатальная. Не существует строгих теорем о числе решений и месте нахождения оптимального решения для минимизации функционалов вида (2.2.4) или (2.2.4-1). Всегда остается сомнение, а не проглядели мы более глубокий минимум? Указанная проблема особенно актуальна для многопараметрических потенциалов. Для них возможны такие ситуации, когда небольшие колебания значений констант существенно влияют на глубину минимума.

Выходов из этой ситуации можно назвать четыре.

Первый – считать задачу для большого числа начальных приближений.

Второй – не использовать потенциалы с большим числом констант.

Третий – строить потенциалы на основе моделей, позволяющих придавать константам определенный физический или геометрический смысл, тогда легче будет оценивать область их наиболее вероятных значений.

Четвертый – следить за тем, чтобы при добавлении к выражению для упругого потенциала нового члена дисперсия уменьшалась. Если она увеличивается, то это явное свидетельство того, что глобальный минимум не найден.

Примером последнего утверждения может служить последовательность следующих потенциалов: Неогуковский, Муни-Ривлин, Исихара и др., Бидерман. В этом ряду по данным всех таблиц дисперсия уменьшается.

Есть еще один, пятый, способ проверки глобальности найденного минимума. Но он может быть применен не ко всем, а только к тем потенциалам, в которых константы входят только в виде множителей. Этот способ состоит в применении к таким потенциалам классического метода наименьших квадратов [215, с. 268], который дает единственное решение. Кроме поиска глобального минимума, этот метод может служить критерием правильности работы всего алгоритма многопараметрической оптимизации (решения этими двумя методами обязаны совпадать).

Оптимальное число констант для нашей задачи – 3 или 4, что следует из приведенных данных. Это обеспечивает точность по среднеквадратическому отклонению около ±10%.

Здесь следует уточнить, какие отклонения расчета от эксперимента мы считаем приемлемыми, а какие нет, и почему. Почему, например, ±10% по среднеквадратическому отклонению допустимо, а ±20% уже плохо?

Все дело в том, для каких целей будет применяться в дальнейшем найденный упругий потенциал. Если на его основе рассчитывать равновесную конфигурацию шины с использованием различных численных схем, то, видимо, точность ±20%, даже ±40% вполне удовлетворит расчетчика. Практически всю нагрузку в шине держит корд, и это позволяет снижать требования к точности задания свойств резины.

Если же использовать потенциал для определения наиболее нагруженных (напряженных, максимально деформированных, имеющих максимальную плотность энергии деформации, или нечто другое) мест, то здесь требования к точности расчета НДС существенно возрастают. Почему? Да потому, что нас нагруженность волнует, в первую очередь, с точки зрения числа циклов, которое шина выдержит до разрушения (что соответствует числу пройденных километров). А зависимость числа циклов от величины нагрузки (напряжения, деформации, энергии цикла или чего-то другого) растет как степенная функция с показателем около 7-10. Отсюда ясно, что погрешность в среднеквадратическом отклонении на ±10% или на ±20% даст прогноз по ходимости, который может отличаться на порядок. (Об этом уже говорилось в литературном обзоре). Это и есть та основная причина, которая вынуждает нас среди всех упругих потенциалов тщательно выискивать наилучший.

 

2.8 Порообразование. Задача Ламе для больших деформаций резины

 

Явление образования пор в резине в процессе вулканизации хорошо известно технологам-резинщикам [[265]]. Причиной его является наличие в составе резиновой смеси жидкой или газовой фазы, которая находится в растворенном состоянии при высоких давлениях. При определенных соотношениях между температурой, давлением и степенью структурирования вулканизата в резине образуются микропоры, которые при разрастании существенно ухудшают комплекс эксплуатационных показателей готового изделия.

С точки зрения физики и механики это явление можно описать следующим образом. Исходя из характеристик газовой фазы, растворенной в резине (чаще всего это вода), можно определить ее растворимость, зависящую от температуры и давления. Зная кинетику вулканизации данной резиновой смеси (зависимость механических характеристик от температурно-временного режима вулканизации при избытке давления), можно рассчитать максимальные деформации или напряжения от воздействия растворенного газа, которые не вызовут возникновения очагов порообразования и их дальнейшего разрастания. Актуальность расчетной оценки критических параметров явления порообразования связана с тем, что визуально не всегда можно определить момент образования микропор, а имеющиеся методические подходы [[266]] или трудоемки, или не всегда позволяют гарантировать их отсутствие.

Кроме явления образования и разрастания пор при вулканизации причиной возникновения пор могут быть процессы смешения и переработки резиновых смесей. В этом случае важно, чтобы соотношение давления, температуры и времени вулканизации способствовало зарастанию пор и отсутствию последних в готовом изделии.

Задача о раздувании толстостенной сферической или цилиндрической оболочки в механике твердого тела, подчиняющегося закону Гука, носит название задачи Ламе [[267]]. Ее решение для малых деформаций осуществляется стандартным методом из уравнений равновесия.

 
 

Рассмотрим задачу о раздувании толстостенной оболочки из высокоэластичного несжимаемого материала для случая больших деформаций с учетом его существенной нелинейности. В отличие от классической задачи Ламе решение будем искать не из уравнений равновесия, а с использованием упругого потенциала – зависимости плотности энергии деформации U от инвариантов тензора больших деформаций. Решение будем искать в общем виде для произвольного вида упругого потенциала и произвольных инвариантов. Для сравнения с экспериментом и с результатами классической задачи Ламе, конечно, потребуется явный вид и потенциала, и инвариантов, и их констант.

Решим вначале задачу о раздувании тонкой сферической оболочки (рис. 2.8.1) с исходными внутренним диаметром D=2R и толщиной d, причем D>>d. Объем оболочки Vобол определяется выражением

(2.8.1)

Раздувание приводит к однородному двуосному растяжению оболочки или, другими словами, к ее одноосному сжатию в l1 раз. При раздувании D ®aD, d ® l1d (a > 1). Из равенства объема шаровой оболочки до и после раздувания

(2.8.2)

найдем l1:

(2.8.3)







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.22.210 (0.017 с.)