ТОП 10:

Новый подход к построению упругого потенциала наполненной резины



 

Известно, что резины, наполненные техническим углеродом, плохо подчиняются уравнениям типа (1.2.20), (1.2.21) даже для одноосного нагружения, т.е. в том случае, когда для ненаполненных резин такое согласие имеется [5]. Для аналитического описания упругого (вернее, квазиупругого) поведения эластомеров предложено большое число упругих потенциалов с тремя и более константами. В большинстве своем эти уравнения содержат разное число членов из ряда (2.1.19). В работах Огдена, Валаниса, Черных, Харт-Смита, Блатца и др. (см. раздел 1.2) рассмотрены примеры применения разных потенциалов каждым из авторов для ограниченного числа объектов исследования для вполне определенных условий деформирования. Нам неизвестны работы, в которых приводится сравнение с экспериментом, проведенным на наполненных резинах в различных сложных НДС[2]. Это связано с большой технической сложностью постановки таких экспериментов (например, раздувание полого цилиндра с одновременным растяжением; двуосное растяжение крестообразного образца).

Как было сказано выше, вид упругого потенциала определяется, как правило, вкусами автора. Обычно записывают сразу выражение для энергии, затем его дифференцируют для получения зависимости напряжения от деформации, а коэффициенты подбирают для наилучшего согласия с экспериментом. Иногда сразу задают вид зависимости напряжения от деформации, однако, при этом возникает проблема инвариантности полученных выражений, с которой не всегда справлялись [[257], [258]]. Построение упругого потенциала описанными методами скорее следует отнести к области искусства, чем науки.

Данный раздел посвящен описанию алгоритма построения упругого потенциала на основе некоторых общих закономерностей, присущих всему классу изотропных несжимаемых эластомеров.

Рассмотрим зависимость дифференциального модуля резины Е при одноосном нагружении от относительного удлинения e = l - 1. Она имеет характерный вид, изображенный на рис. 2.2.1.

Рис. 2.2.1 Зависимость E(e) при одноосном растяжении

На рис. четко прослеживаются три характерные области. Первая отличается значительным падением модуля (в 3 – 5 раз для механически кондиционированных образцов (тренированных) и в 7 – 10 раз для образцов, растягиваемых в первый раз после вулканизации). Во второй области модуль практически не меняется, в третьей вновь растет.

Если учесть, что в условиях эксплуатации резина, как правило, не подвергается деформациям, превышающим 50%, то подъемом зависимости Е(e)в правой части графика можно пренебречь.

Теперь уточним задачу, решаемую в этом разделе. Она формулируется так: требуется разработать метод построения упругого потенциала в области деформации резины от 0 до 50 – 100%. В этом случае модуль Е(e)для значений e®¥может быть любым, в частности, стремиться к константе, а всю кривую можно охарактеризовать тремя параметрами: первый равен значению Е при e=0; второй - значению Е на плато (или при e®¥,если плато продолжается бесконечно); третий - определяет скорость изменения модуля от значения в нуле к значению на плато.

Следующий шаг будет в определенной степени произвольным. Надо записать выражения, содержащие три указанных параметра и имеющие характерный для деформационной зависимости модуля вид. Дважды интегрируя аналитическое выражение, имеющее указанные особенности, получим плотность энергии деформации для одноосного растяжения.

Такой подход, в основе которого лежит рассмотрение модуля, а не напряжения или энергии, представляется более точным, т.к. ошибки при дифференцировании экспериментальных зависимостей проявляются существенно более сильно, чем при интегрировании.

В качестве аналитических выражений для Е(e)могут быть использованы, в частности, следующие выражения:

при e = 0, Е(1)(e) = Е2

при e ®µ, Е(1)(e) = Е1

при e = 0, Е(2)(e) = Е1 – Е2Е3

при e ®µ, Е(2)(e) = Е1 (2.2.1)

 
 


при e = 0, Е(3)(e) = Е1 – Е2Е32

при e ®µ, Е(3)(e) = Е1

 
 


при e = 0, Е(4)(e) = Е12

при e ®µ, Е(4)(e) = Е1

 

при e ®0, Е(5)(e) = Е12

при e ®µ, Е(5)(e) = Е1

 

Все выписанные выражения качественно ведут себя правильно. Перечень подходящих формул может быть расширен в том случае, если использование приведенных соотношений окажется по каким-либо причинам недостаточным.

Проинтегрируем выражения (2.2.1) с целью получения зависимостей условного напряжения s от относительного удлинения e:

(2.2.2)

Константы интегрирования выбраны так, чтобы удовлетворялось условие s(0) = 0. Все пять выражений имеют линейный член и нелинейный, причем последний имеет разный вид в зависимости от вида выражения для модуля.

Проинтегрируем (2.2.2) еще раз и получим зависимость плотности энергии деформации от относительного удлинения при одноосном нагружении:

(2.2.3)

Полученные выражения имеют квадратичный и линейный члены по e и некоторую добавку. Константы интегрирования подобраны так, чтобы U(0) = 0.

Потенциалы (2.2.3) будем называть (сверху вниз): логарифмический 1; логарифмический 2; дробно-линейный; экспоненциальный; степенной. Это нам пригодится в дальнейшем при обсуждении результатов.

Изложим кратко метод численного определения параметров Еi, которые обеспечивают наилучшее согласие с экспериментом. Для решения подобных задач обычно применяют метод наименьших квадратов, который хорошо работает в случае, когда параметры Еi входят в выражение для упругого потенциала в виде множителей. Это относится ко всем потенциалам, образованным степенным разложением по инвариантам. Для нашего случая такой метод не подходит. Здесь следует использовать алгоритмы оптимизации [[259]].

Для минимизации был выбран функционал вида

, (2.2.4)

где: - рассчитанные и измеренные значения условного напряжения в точке i;

N – общее число экспериментальных точек.

Величину D будем также называть дисперсией, что имеет смысл, если измеренные значения напряжения считать случайной величиной. Квадратный корень из D есть среднеквадратическое отклонение S теории от эксперимента.

В (2.2.4) минимизируется нормированная на одну точку сумма квадратов относительных отклонений эксперимента от расчета. Предпочтение отдано относительному отклонению перед абсолютным по той причине, что для задач механики шин важно хорошее соответствие теории и эксперимента в области малых деформаций, характерных для работы резины в шине. Для большинства РТИ, работающих в условиях усталостного утомления, также важной является область малых деформаций.

Для проверки влияния вида минимизируемого функционала на результаты аппроксимации было использовано также выражение вида

, (2.2.4-1)

отличающееся от (2.2.4) тем, что относительное отклонение задается делением не на расчетное значение нагрузки, как в (2.2.4), а на экспериментальное. Отличие в том, что расчетные зависимости в процессе их генерирования могут пересекать ось абсцисс (в нашем случае, ось деформации), а экспериментальные – никогда. (Измеренное напряжение не может быть отрицательным при растяжении резины). Поэтому в (2.2.4) могут возникнуть случаи деления на «0», или почти на «0», что приведет к резкому увеличению значения всего функционала (2.2.4). Функционал (2.2.4-1) почувствует это в меньшей степени.

Следует учитывать еще одно важное обстоятельство. Для большинства известных потенциалов расчетная кривая идет ниже эксперимента в области малых деформаций. Причина этого в том, что все используемые нами потенциалы создавались, как правило, для ненаполненных резин, у которых не наблюдается сильная нелинейность в области малых деформаций. Поэтому функционал (2.2.4-1) будет менее чувствительным к отклонениям расчета от эксперимента в этой области.

Константы потенциалов определялись численно методом многопараметрической оптимизации, а именно методом покоординатного спуска [[260]]. В этом варианте итерации проводятся с начальным шагом до тех пор, пока на каждом следующем шаге удается отыскать решение с меньшим значением величины D. Как только такое решение не находится, шаг уменьшается вдвое. Процедура повторяется до тех пор, пока величина шага не станет меньше некоторой заданной d. Эта величина d выбиралась от 0.001 до 0.0000001, что вполне соответствует конечным значениям параметров потенциалов. (Конечно, можно было бы выбрать одно значение d = 0.0000001, но было интересно и полезно посмотреть, как величина D зависит от минимального шага). В процессе решения было обнаружено, что минимизируемый функционал имеет овражный рельеф [260]. Для ускорения сходимости итерационного процесса введена процедура изменения масштаба переменных, что существенно уменьшило число шагов для получения решения. Кроме того, была применена процедура постепенного увеличения шага, который мог оказаться неприемлемо малым на некоторых участках траектории, далеких от окончательного решения. Все программы написаны на языке Фортран.


 

 

Рис. 2.2.3 Экспериментальная кривая одноосного растяжения и ее аппроксимация разными аналитическими выражениями. (В нижней части рисунка в увеличенном масштабе начальный участок)


 

На рис. 2.2.3 изображены экспериментальная кривая растяжения и ее аппроксимация некоторыми расчетными зависимостями.

Эксперимент проводили на разрывных машинах Тензометр Т-10 (ф. Монсанто) и УТС-10 (Германия). Машины являются современными прецизионными приборами для научных исследований и серийных испытаний. Имеют международные сертификаты, позволяющие их использовать во всех испытаниях, предусмотренных международными и отечественными стандартами на шины и РТИ.

В данном опыте использовали брекерную резину с шифром 2э-2560. Эта резина применяется в качестве обкладки металлических кордов. Испытывали резиновые образцы в виде лопаток. Деформацию определяли с помощью экстензометра, позволяющего с высокой точностью (не менее 0.01 мм) определять изменение размеров рабочего участка в зоне однородного деформирования. Величина рабочего участка для разных образцов составляла от 25 до 50 мм. Скорость перемещения подвижной траверсы 5 мм/мин, что обеспечивало достаточное приближение к равновесию. Образцы перед испытаниями подвергали механическому кондиционированию для снятия влияния тиксотропных структур[3]. Для каждой кривой растяжения на интервале от 0 до 100 % записывали в автоматическом режиме через равные временные промежутки от 800 до 1200 значений напряжения s и относительной деформации e. Такое количество точек позволило аккуратно дифференцировать и интегрировать зависимость s(e) без привнесения субъективного фактора. Полученные массивы исходных данных автоматически переносились в программу по их обработке, о которой говорилось выше.

Вопрос об истинно равновесном состоянии остается открытым. Если для ненаполненных резин можно при малых скоростях деформирования получить достаточно хорошее совпадение кривых растяжения и сокращения, то для резин, наполненных техническим углеродом (сажей) это практически недостижимо. Но если исходить из того, что с помощью упругого потенциала осуществляется расчет НДС шины, которая деформируется с конечной скоростью, то условия испытаний образцов можно считать вполне приемлемыми. Безусловно, при более строгом подходе следует учитывать вязкоупругие свойства резины, однако это следующий шаг, для осуществления которого должно быть получено достаточно хорошее решение упругой (точнее, квазиупругой) задачи.

В таблице 2.2.1 приведены результаты аппроксимации экспериментальной кривой растяжения зависимостями (2.2.2) (кроме степенного потенциала) и некоторыми известными аналитическими выражениями (см. гл. 1). Для выяснения влияния параметра, контролирующего скорость перехода от модуля в нуле деформации к модулю на бесконечности, был дополнительно рассмотрен двухпараметрический потенциал вида

. (2.2.5)

Для него значения напряжения и модуля имеют вид

(2.2.6)

. (2.2.7)

Потенциал (2.2.5) фигурирует в таблице 2.2.1 как логарифмический усеченный.

Приведем перечень предложенных ранее потенциалов, использованных в таблице 2.2.1 и в дальнейшем. Номера констант соответствуют их порядку в таблице.

· Хазанович

 

· Ривлин, неогуковский

 

· Валанис-Ландел ( )

 

· Муни-Ривлин

 

· Неогуковский + Хазановича

 

· Исихара, Хашицума, Татибама

 

· Муни-Ривлин + Хазановича

 

· Черных

· Харт-Смит

 

· Огден

 

· Александер

 

· Бидерман

 

· Блатц,Шарда,Чоэгл


Таблица 2.2.1 Результаты аппроксимации зависимости s(e) разными аналитическими выражениями.

 

Упругий потенциал Исходные значения констант Найденные значения констант Точность определения констант Число шагов счета Дисперсия D
1. Потенциал Хазановича – Бартенева (изотропный) 5.81791 0.0000004 0.24113
2. Неогуковский потенциал (Ривлин) 1.43913   0.0000006 0.29112
3. Потенциал Валаниса-Ландела 5.75865 0.0000005 0.282812
4. Потенциал Муни- Ривлина   -1.02944 2.85579 0.0000006 0.11135
5. Неогуковский + Хазановича -3.79347 22.068 0.0000007 0.13903
6. Потенциал Исихары, Хашицумы, Татибамы -4.8324 6.94889 0.69385 0.0000007 0.05618
7. Потенциал Муни-Ривлина + Хазановича 11.6831 14.5994 -96.3616 0.0000001 0.04835
8. Потенциал Черных 1.29096 0.78452 3.33334 0.0000007 0.05803
9. Потенциал Харт-Смита 2.5 1.5 0.5 0.91895 -0.2211 0.00084 0.0000004 0.04466  
10. Потенциал Огдена 0.5 -0.5 -2 53.3396 -0.84768 -16.0635 -3.35045 0.0000008 0.04254
11. Потенциал Александера 0.28891 0.02215 0.00930 0.14955 0.0000006 0.02486
12. Потенциал Бидермана     -4.09289 6.19243 0.38756 0.10874 0.0000005 0.06356  
13. Потенциал Бидермана -8.10811 10.3845 1.96623 -0.42472 0.0000005 0.03954  
14. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 25.5776 1.08370 -23.1798 1.02671 0.0000004 0.04115  
15. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла -1 2.43014 4.23522 -2.22081 1.01936 0.0000008 0.03116  
16. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 1.14647 1.46063 0.32740 0.68670 0.0000006 0.002211  
17. Потенциал Блатца, Шарды, Чоэгла 0.5 0.5 1.5 1.5 3.63007 0.90009 0.42074 0.65548 0.0000009 0.003463  
18. Логарифмический усеченный потенциал -4 -20.929 10.2118 0.0000006 0.15278
19. Логарифмический потенциал 1 1.89042 29.9080 243.404 0.0000008 0.002092
20. Логарифмический потенциал 2 -2 2.22692 -0.36925 56.9652 0.0000009 0.004339
21. Дробно-линейный потенциал -2 2.29476 -2.30913 30.3968 0.0000002 0.005327
22. Экспоненциальный потенциал 19.8135 62.7919 2.3751 0.0000008 0.0077603
               

 

Представленные результаты можно интерпретировать следующим образом. Однопараметрические потенциалы 1 - 3 (неогуковский, Хазановича-Бартенева и Валаниса-Ландела) дают неприемлемо большое отклонение эксперимента от расчета. (Напомним, что среднеквадратическое отклонение S равно корню квадратному из дисперсии D, т.е. для этих потенциалов оно составляет от 49 до 54%). Двухпараметрические потенциалы 4 и 5 описывают эксперимент несколько лучше (S = 33% для Муни- Ривлина и 37% для (неогуковский + Хазановича)), но также неприемлемы с учетом требований механиков шин и конструкторов. Трехпараметрические потенциалы (6 - 9) примерно совпадают по точности (S = 22%). Лучше других здесь выглядит потенциал Харт-Смита. Потенциал Черных – наименее точный (S = 33%), он почти не дал улучшения по сравнению с потенциалом Муни - Ривлина. Из четырех четырехпараметрических потенциалов (Огден, Александер, Бидерман, Блатц и др.) резко выделяется в лучшую сторону потенциал Блатца и др., для которого S = 4.7%.

Рассмотрим теперь предложенные нами трехпараметрические потенциалы. По точности они превосходят не только все известные трехпараметрические, но и все четырехпараметрические, за исключением потенциала Блатца и др. Лучший из них – логарифмический 1 – превосходит, хоть и незначительно, потенциал Блатца и др.

Можно заключить, что соображения, положенные в основу построения потенциалов 2.2.3, оказались достаточно разумными. Можно также утверждать, что существенное значение имеет быстрота перехода от модуля в нуле деформации к модулю на плато (или на бесконечности, если вспомнить ограничения на величину деформации, не превышающую 100%). Это утверждение следует из сравнения дисперсий для потенциалов логарифмического усеченного и логарифмического 1, которые отличаются тем, что во второй из них введен параметр, ответственный за скорость перехода. Иными словами, значительная нелинейность при малых деформациях, присущая наполненным резинам, является определяющим фактором при выборе потенциала для этих материалов.

Полученные результаты ни в коей мере не следует рассматривать как отрицание многого из того, что было предложено ранее. Просто никто из авторов известных потенциалов не пытался описать свойства наполненных резин в произвольном сложном НДС. Анализ упругих свойств ненаполненных резин представляет отдельную задачу, которая выходит за рамки предлагаемого исследования.

Следующая задача состоит в том, чтобы предложенный принцип построения упругого потенциала распространить на сложное НДС. Для этого необходимо перейти от eв качестве аргумента к инвариантам вида (1.2.14) или любым другим.

Если учесть, что выражения для условного напряжения и истинного (дифференциального) модуля при одноосном растяжении в случае зависимости энергии от двух инвариантов имеют вид

(2.2.8)

,

то легко показать, что для сохранения числа констант по сравнению со случаем одноосного растяжения необходимо, чтобы

dI/dl = const ¹ 0и d2I/dl2 ¹ ±¥ при l=1. (2.2.9)

(Напомним, что производные по l равны производным по e). Действительно, если dI/dl = 0, то выражение для напряжения должно содержать не три константы, как модуль, а четыре по той причине, что в этом случае нельзя константу интегрирования определить из условия равенства нулю выражения для напряжения вида (2.2.2). Обычно применяемые инварианты условиям (2.2.9) не удовлетворяют, поэтому используем инварианты вида

(2.2.10)

(n ¹ 0 – любое действительное число), для которых условия (2.2.9) выполняются:

(2.2.11)

Пределы (2.2.11) получены с использованием степенного разложения выражения (2.2.10) по малому параметру e=l-1.

Возникает вопрос: насколько обоснована замена величины e на величину J?

 
 

Ответ состоит в следующем. Если построить зависимость J(e) при значении n=1.5, то окажется, что она практически совпадает с прямой линией, проходящей под углом 450 к осям (рис. 2.2.2). Это должно привести к тому, что при описании эксперимента по одноосному нагружению точность аппроксимации выражениями (2.2.13) будет не хуже, чем для выражений (2.2.2).

Упругие потенциалы в инвариантном виде будем записывать по аналогии с потенциалами, полученными из соотношений (2.2.1) двукратным интегрированием. Соответствующие потенциалы примут вид

 
 

 

 


(2.2.12)

 

 
 

 

 


 

Получим из (2.2.12) с учетом (2.2.8) выражения для напряжения при одноосном нагружении:

 

(2.2.13)

Здесь , что следует из (2.2.10).

 

Здесь мы вынуждены прерваться. Результаты аппроксимации экспериментальной зависимости s(e) выражениями (2.2.13) и другими известными соотношениями мы изложим в разделе 2.7 Мы увидим, что точность аппроксимации эксперимента не хуже, чем с использованием выражений (2.2.2). Это послужит основанием для обретения определенной уверенности в том, что и в произвольном сложном НДС определяющие соотношения (2.2.12) хорошо опишут поведение наполненной резины.

Однако для сопоставления с экспериментом необходимо иметь результаты испытаний в условиях произвольного сложного НДС. В литературе, как было отмечено выше, такие данные отсутствуют. Следующие разделы главы посвящены описанию сложного НДС и экспериментально-расчетному методу определения плотности энергии деформации в произвольном однородном сложном НДС.







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.097 с.)