Нормальная система оду. Понятия решения и интегральной кривой. Постановка задачи Коши для Нормальной системы, формулировка тсе.

Опред.: Нормальной системой ОДУ называется система ур-ий вида:

Замечание1: - зависимые переменные от независимой переменной x

Замечание2:Число ур-ий равно числу зависимых переменных

Замечание3: Порядок системы равен числу ур-ий

Замечание4: Каждое ур-ие ситемы разрешено относительно производной 1-го порядка.Правая часть производных не содержит.

Говорят что на промежутке I= определена вектор-функция , если на I заданы функции

Векторная запись системы (1):

Опред.: Решение нормальной системы ОДУ (1) назыв-ся упорядоченный набор функций определенных на промежутке I= и удовлетворяющих условиям:

1) n:

2)

3)

Опред.: Решение нормальной системы ОДУ (1) назыв-ся вектор-функция определенная на промежутке I и удовлетворяющая условиям:

1)

2)

3)

Опред.: Пусть решение системы (1),(2) на промежутке I кривая и заданная параметрически уравнениями: называется интегральной кривой систем (1),(2)

Постановка задачи Коши

Дано: 1)Система (1)

2) Точка

Найти: - решение определенное на окрестности точки и удовлетворяющая условиям:

или

– начальное условие задачи Коши

 

Запись:

Теорема(ТСЕ1 для нормальной системы ОДУ): Пусть вектор-функция определены и непрерывны в области и точка

Тогда существует - решение задачи, Коши такое: , определенное на интервале

Нормальная система ЛДУ. Скалярная и матричная запись. Формулировка ТСЕ решения задачи Коши для системы ЛДУ.

Нормальную систему порядка n дифференциальных уравнений вида {dy₁/dx=a₁₁(x)y₁+… a_1n(x)y_n+b₁(x); …; dy_n/dx=a_n1(x)y₁+… a_nn(x)y_n+b_n(x) (1). называют линейной системой, здесь функции a_ij(x) и b_i(x) определены и непрерывны на I=<a,b>. dy_i/dx=_j=1Sⁿa_ij(x)y_j+b_i(x), 1£ i £n. f_i(x, y)= _j=1Sⁿaij(x)y_j+b_i(x), "i,j df_i(x, y)/dy_i=a_ij(x)ÎC(I). Функции f_i(x, y) и df_i(x, y)/dy_i определены и непрерывны G={xÎI=<a,b>; -¥<y₁<¥;…;-¥<y_n<¥}=I* R ⁿ. Задача Коши для линейной системы: начальные условия: x₀ÎI, y₁⁰…y_n⁰ – произвольные числа, т.е. y ⁰Î R ⁿ (произвольный вектор). Запишем систему (1) в матричном виде: b (x)=(b₁(x)…b_n(x))^T, A(x) – матрица-функция порядка n. A(x)=||a_ij||_n*n; d y /dx=A(x) y + b (x). A(x), b (x)ÎC(I).

Определение. Если b (x)¹ 0, то система d y /dx=A(x) y + b (x) (2) называется неоднородной. Если столбец b (x)= 0, то система ЛДУ называется однородной и имеет вид d y /dx=A(x) y

Th.(ТСЕ для системы ЛДУ). Пусть вектор-функция b (x) и матрица-функция A(x) определены и непрерывны на I=<a,b>, x₀ÎI, y₁⁰…y_n⁰ – произвольные действительные числа. Тогда задача Коши: d y /dx=A(x) y + b (x), y (x₀)= y ₀ (y _0={y₁⁰…y_n⁰}) 1. Имеет решение j (x), определенная на всем I. 2. Это решение единственно (т.е. если j (x) и y (x) – решения, удовлетворяющие условию j (x₀)= y (x₀), то "xÎI: j (x)º y (x)).