Фср однородной системы лду с постоянными коэффициентами с случае простых действительных корней характеристического уравнения.

Система ЛДУ с постоянными коэффициентами

A=||a_ij||_n×n i,j=1,…n, aij R(C)

b_k (x) C(I) k=1,…n, I=<α,β>

=A y +b(x) (2) = A y (3)

Все решения системы (3) определены на всей числовой прямой, можно доказать, что все решения бесконечно дифференцируемы.

Будем искать решения:

y(x)= e^( x) (4), где λ R(C)

γ Rⁿ (Cⁿ); γ≠

Теор 13. Пусть матрица A = ||a_ij||_n´n (a_ij Î C) имеет n различных собственных значений (хар чисел) l₁…l_n,тогда век.-функ. y ₁= γ ₁*e^l1x … y _n= γ _n*e^lnx – где γ _k собств вектора, соотв. соб. знач. l_k (k=1,..n), образует ФСР сист. (3) и общее реш имеет вид y =C₁ γ e^l1x +…+ C_n γ _ne^lnx, где C₁ … C_n – произв числа.

 

31. ФСР однородной системы ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет простые комплексные или кратные действительные корни.

Система ЛДУ с постоянными коэффициентами

A=||aij||_n×n i,j=1,…n, aij R(C)

b_k (x) C(I) k=1,…n, I=<α,β>

=Ay+b(x) (2) = Ay (3)

Все решения системы (3) определены на всей числовой прямой, можно доказать, что все решения бесконечно дифференцируемы.

Будем искать решения:

y(x)= e^( x) (4), где λ R(C), γ Rⁿ (Cⁿ); γ≠

Теорема(1): для того чтобы вектор-функция y=γe^λx являлась решением системы =Ay необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением матрицы А, а γ собственным вектором, соответствующим собственному значению.

Док-во:

y=γe^λx – реш.сист. <=> γe^λx A(γe^λx)

γe^λx=γ(de^λx)/dx = γe^λx = λγe^λx

λγe^λx=(Aγ)e^λx<=>λγ=Aγ<=>Aγ=λγ

следовательно согласно определению собственного вектора γ- собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ матрицы А.

1)Пусть среди λ1, … λn встречаются комплексные числа.

λ=α+β α,β - действительные числа

λ- собственное значение, обозначается:γ≠θ – соответствующий собственный вектор. y=γe^λx по теореме 1 – решение системы (5)

Теор. 2.: Пусть lÎС и `l комплексно-сопряж. Если y=γe<sup>λx</sup>, где γЄ C<sup>n</sup> явл-ся реш-ем с-мы(3), то ф-я `y(x) также явл-ся реш-ем с-мы (3). При этом, если y(x)=U(x)+iV(x), где U(x), V(x) действит вектор-ф-ции, то U(x) и V(x) также реш-е с-мы (3).

Док-во:` y=` γ` e<sup>λx</sup> =` γ e`<sup>λx</sup>; согласно теор 1 явл-ся реш (3) т и т т когда λ явл-ся собст значением матр А а γ¹`0 соб вектор удовлет соб знач-ю λ, т е А γ= λ γ; `А` γ=` λ` γ; значит А γ=` λ `γ т е `λ – собст значение матр А, `γ-собст вектор приним собст знач `λ. По теор 1 в этом случае `y= γ e`^λx явл решением сист (3)

Предст y(x)=U(x)+iV(x), где U(x) и V(x) действит вект ф-ия. По теор 3, если y(x) явл-ся реш сист (3), то U(x)=Rey(x) и v(x)=Jmy также реш с-мы (3)

Лемма: Если y1(x), (x), y3(x),…, yn(x) - ФСР системы(5) и y1(x)=U(x)+iV(x), а =U(x)-iV(x), где U(x), V(x) – действительные вектор-функции, то U(x), V(x), y3(x),…, yn(x) образуют ФСР системы.

Док-во: y1(x),…yn(x) – ФСР, то W(0)=0, W(o)=W(U(x)+iV(x),U(x)-iV(x),y3(x),…yn(x))|_x=0=

=-2iW(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|_x=0 ≠ 0, т.к W(0)=0,то W(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|_x=0≠0

U(x),V(x),y3(x),…yn(x) –лин. незав. реш.(ФСР)

2) Кратные корни

=Ay (3) A=||aij||_n×n aij C, пусть

λ1=λ2=…=λm=μ – корень кратности m характеристического уравнения системы (4)

Теорема: пусть μ- корень кратности m характеристического уравнения системы (4), тогда система (5) имеет m линейно независимых решений вида: y=(γ₀+γ₁t+…+γ_m-1t^m-1)e^μx, где γ₀,γ₁,γ_m-1 Cⁿ