ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения.

Постановка задачи Коши.

Пусть область D∈ и F(x,y) определена на D y'=F(x,y)

Определение 3. φ(x) определена на промежутке I=<α,β> называют решением уравнения y'=F(x,y) если:

1) φ(x) ∈C¹(I)

2) ∀x∈I:(x, φ(x))

3) ∀x∈I:φ'(x) ≡F(x, φ(x))

Определение 4. Если y= φ(x) является решением y'=F(x,y),то график этой функции называют интегральной кривой уравнения y'=F(x,y).Ясно,что интегральная кривая

∈ D

Геометрическая интерпретация

Говорят,что в области D∈R² задано векторное поле ,если в каждой точке M(x,y) ∈ В поставлен в соответствии вектор (x,y),приложенный к этой точке

Для уравнения

y'=F(x,y) построено векторное поле

(x,y)= – поле направления

Пусть y= φ(x) интегральная кривая y'=F(x,y),

В точке (x, y)

y'= φ' (x)=F(x, φ(x))=F(x,y)

Т.е тангенс угла наклона к φ= φ(x) равен F(x,y)

Постановка Задачи Коши

Постановка задачи –необходимо понять,что задано и что надо найти

Дано: В области D заданы дифф.ур-ия y'= F(x,y) и два числа x₀ и y₀ такие,что (x₀,y₀) ∈D

Найти: решение y= φ(x) уравнения y'=F(x,y) определена на некотором интервале где x₀∈ I=<α,β> и удовлетворяет условию φ(x₀)=y₀, числа x₀ и y₀ называются начальными условиями.

Условная запись задачи Коши

y'= F(x,y),y(x₀)=y₀

Замечания

1) Если F(x,y) ∈C(D) То задача Коши имеет решение в любой точке в области D

2) Решений у уравнения y'= F(x,y)бесконечно много

3) (x₀,y₀) ∈D:Для единственности решения требует дополнительные условия

Формулировка теоремы существования и единственности (ТСЕ). Понятие общего решения.

Обобщение некоторых понятий.Пусть f(x,y) определена в области D∈ точка (x₀,y₀) ∈D

Рассматриваем задачу коши

(8)

Пусть φ₁(x) и φ₂(x) решения (8),т.е φ₁(x),φ₂(x) - решение y'=F(x,y),

φ₁(x₀)=y₀

φ₂(x₀)=y₀

Определение 5. Говорят,что задача Коши (8) имеет единственное решение если любые два решения φ₁(x) и φ₂(x) этой задачи,совпадают на некоторой окрестности точки x₀ т.е ∃ δ>0 ∀x∈(x₀ – δ, x₀ + δ): φ₁(x) ≡ φ₂(x)

ТеоремаТСЕ1(локальная)

Пусть на области D∈ функция и (x,y) определена и непрерывна и точка (x₀,y₀) ∈D.Тогда уравнение имеет решение φ(x)

1)Определена на некоторой окрестности (x₀ – h, x₀ + h) точки x₀ , удовлетворяет условию

φ(x₀ )= y₀

2)Такое решение единственное(Без док-ва)

Замечание к ТСЕ

Пусть в D выполняется условие ТСЕ1

1)В D бесконечно много решений уравнения, x₀ - точка (x₀ , y₀) ∈D.Через эту точку проходит единственное решение y=φ(x₀ , y₀).Все эти решения не совпадают

Определение 6. Пусть удоволитворяет в D условием ТСЕ1

Функция y=φ(x,C) называют общем решением y'= F(x,y) в области D,если

1) ∀C: φ(x,C) решением φ(x,C)

2) Любое частное решение y'=F(x,y) может быть получен из φ(x,C) подбором соответствующего значения C

2⁰ Решением задачи может быть определена лишь на некоторой (небольшой) окрестности точки x₀

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Примеры.

ОДУ вида:(3) –называют уравнение с разделяющимися переменными

Теорема 1.Если непрерывная при a<x<b, непрерывна при c<y<d, причем ∀y∈(c,d):g(y)≠0,то через каждую точку M₀(x₀ , y₀) прямоугольника D= проходит единственное решение уравнения (3)

Доко-во

(3)y =f(x)g(y);g(y) ≠0

(3 ): =f(x)

Проинтегрируем по x: = ó

Обозначим

F(x)=

G(y)= из (3^*)

G(y)=F(x)+C

Т.к G = ≠0,то у G(y) существует обратный G^-1

Y=G^-1(f(x)+C) – решением уравнения (3)

Найдем решение проходящие (x₀ , y₀)

G(y₀)=F(x₀)+C; y= G^-1(f(x))

Замечания

1)Если ∃y^* такое g(y^*)=0 тогда,уравнение (3) имеет решение y=y^*

2) Алгоритм решения ур-ия (3)

a)g(y)=0 найти y^*g(y^*)=0,тогда y= y^*

б)g(y) ≠0; =f(x)ó =

3) =f(ax+by+c),a,b,c∈ ℝ, b≠0

Такое ур-ие сводится к ур-ию с разделяющими переменными

x- независимая переменная,z=z(x)

z'=a+bf(2) уравнение с раздел. Перемен

z=ax+by+c и z'=a+by'

Пример: ydx = (x +1) dy

Однородные уравнения

(4)y'=F(

Уравнение вида (4) называют однородным, x – независимая переменная U=U(x)

y=ux;u= ; y'=u'x+u

Уравнение (4) преобразуют к виду:u'x+u=F(u); u'=

Пример: xy'=y-x