Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие устойчивости по Ляпунову и ассимптотической устойчивости. Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения.
Реш.задачи Коши: y= (t) (1) =F(t,y) (2) y(t0)=y0 Теория устойчивости Ляпунова Обозначим: y=y(t,y0) - реш.задачи Коши (1)-(2) =F(t,y(t,y0)); y(t0,y0)=y0 (1) =F(t,y) (2*)y(t0)=y0 Решение задачи (1),(2*): y(t)=y(t,y0) Определение: Решение задачи (1),(2*) называется устойчивым по Ляпунову, если выполняется условие: 1) задача Коши имеет единственное решение y=y(t,y0) опред на [t0:+ ] 2) Определение: решение y=y(t,y0*) задачи (1),(2*) называется асимптотически устойчивым если: 1.оно устойчиво по Ляпунову 2. Решение y(t,y0*) неустойчиво, если: 1.выполняется 2. (t-время) *для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым. Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы. Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1) Сделаем замену в задаче (1),(2) y=y(t,y0) решение (1),(2*) т.е y(t0,y0*)=y0*, y(t)=x(t)+y(t,y0*) x(t) y(t)=y(t,y0*), Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*))) Приведенная задача: (1’) (2’) y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения x задачи (1’),(2’)
Устойчивость системы ЛДУ. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. (3) A(t)=|| (t)| C[ В этом случае задача Коши имеет единственное решение, определенный на [
Теорема 1. Решение задачи Коши (3), устойчиво (ассимтотически устойчиво), если нулевое решение приведенной однородной системы ЛДУ: Док-во: обозначим: где решение (3), [А(t) + -[A(t) = =A(t)[ =
Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой. = - устойчиво, если Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что 2) = является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция 3)Если || , то i=1,…,n : |x(t)| || M Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами. (5) = A=|| | ; Все решения системы определены на всей числовой оси
Рассмотрим характеристическое уравнение системы: det(A-λE)=0; , -корни характеристического уравнения. Теорема 3. 1) если все корни характеристического уравнения системы (5) = 0 Имеют отрицательные действительные части (т.е. , то система асимптотически устойчива. 2) если хотя бы 1 корень характеристического уравнения с положительной действительной частью (т.е. к: , то система (5) неусточива Замечание. 1) Если <0, n N, R, то функции: , , ограничены на [0,+ и = =0; 2)Если то многочлена степени n функции: , , - ограниченны на [0,+ =0; 3) Если то функции , , и - неограниченны на [0,+
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-06; просмотров: 316; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.145.110 (0.009 с.) |