Свойства решений однородной системы.

Определение. Если b (x)º 0, то система d y /dx=A(x) y называется однородной системой ЛДУ. Введем оператор Z=d/dx-A(x); " y (x)ÎC₁(I); Z[ y (x)]= d y /dx-A(x) y; Z[ y (x)]ÎC(I).

Лемма. Оператор Z - линейный. Доказательство: Для любых y ₁(x), y ₂(x)ÎC₁(I) и "l₁,l₂Î R; Z[l₁ y ₁+l₂ y ₂]=l₁d y ₁/dx + l₂d y ₂ - l₁A(x) y ₁-l₂A(x) y ₂=l₁(d y₁/ dx-A(x) y ₁)+l₂(d y ₂/dx-A(x) y ₂)= l₁Z[ y ₁]+l₂Z[ y ₂]. D

Th. 1. Если вектор-функции j ₁(x)… j _n(x) решение системы d y /dx=A(x) y (1), то " С₁…С_n – числа: C₁ j ₁+…+C_n j _n – тоже решение системы. 2. Если u (x), v (x)ÎC₁(I), а действительная функция j (x)= u (x)+i v (x) – решение системы (1), то действительные функции u (x) и v (x) – тоже решения системы. Доказательство: 1. y (x) – решение системы (1) тогда и только тогда, когда Z[ y ]= 0, т.е. когда y – лежит в ядре оператора Z. Т.к. ядро Z - линейное подпространство, то j ₁(x)… j _n(x)ÎRerZÞ C₁ j ₁+…+C_n j _nÎRerZ и является решением системы (1). 2. Z[ y (x)]= d y /dx-A(x) y=0. По условию: 0 =Z[ u (x)+i v (x)]=[по лемме 1]=Z[ u (x)]+iZ[ v (x)]= 0. Т.к. Z[ u (x)] и Z[ v (x)] – действительные вектор-функции, то Z[ u (x)]= 0 и Z[ v (x)]= 0. D

Определение1. Вектор-функции j ₁(x)… j _n(x) назыв. лин. зав-ми на I=<a,b>, если сущ-ют числа a₁…a_n не все равные 0 такие, что "xÎI: a₁ j ₁+…+a_n j _nº 0. Вектор-функции j ₁(x)… j _n(x) – лин. независимы на I, если из тождества "xÎI: a₁ j ₁+…+a_n j _nº 0 следует, что a₁=…=a_n=0.

Определение2. Пусть на пром-ке I=<a,b> задана вектор-функция j _k(x)=(j_1k(x); j_2k(x);…; j_nk(x))^T (k=1…n) функциональный определитель W(x)=W[ j ₁(x)… j _n(x)]=|j₁₁(x)…j_1n(x);…;j_n1(x)…j_nn(x)| (это квадр. матрица размерами n×n) называется определитель Вронского системы функций j ₁(x)… j _n(x) на I=<a,b>.

Теор. Если система вектор-функций j ₁(x)… j _n(x) – линейно зависима на I, то "xÎI: W(x)=W[ j ₁(x)… j _n(x)]º0. Доказательство: Т.к. j ₁(x)… j _n(x) – лин. зав. на I, то сущ. числа a₁…a_n не все равные 0, такие что "xÎI: a₁ j ₁+…+a_n j _nº 0, след-но, "x₀ÎI столбцы j ₁(x0)… j _n(x0) линейно зависимы Þ W(x₀)=W[ j ₁(x₀)… j _n(x₀)] т.к. его столбцы сов. с этими вект. В силу произвольности x0: W(x)=0 на I обратное неверно. D

Следствие. Если существует x0ÎI в которой W(x₀)=W[ j ₁(x)… j _n(x)]|_x=x0¹0, то вектор-функции j ₁(x)… j _n(x) – линейно независима на I.

Теор. Пусть вект.-функция j ₁(x)… j _n(x) явл-ся реш. d y /dx=A(x) y (1) на I. Если сущ. x0ÎI, в которой W(x₀)=W[ j ₁(x)… j _n(x)]|_x=x0=0, то эти решения линейно зависимы на I. Доказательство: Рассм-м вектора j ₁(x0)… j _n(x0) –столбцы W(x). Они лин.зависимы, т.к. W(x₀)=0. Þ сущ. a₁…a_n не все равные 0 такие, что a₁ j ₁+…+a_n j _n= 0. Составим линейную комбинацию Z (x)=a₁ j ₁₍x₎+…+a_n j _n(x). По теор (_ 1) Если j ₁(x)… j _m(x)- произвольные решения урав. d y /dx=A(x) y (или L[y]=0) и С₁,..,С_m –произ. числа, то фун-ия y =С₁ j ₁₍x₎+..+ С_m j _m(x₎-также решение урав (1). 2) Пусть U (x) и V (x)ÎC¹(I) действ. вект.-функции, если комплексная вект.-функция f (x)= U (x)+i* V (x) - решение (1), то U (x) и V (x) решение (1). _) Z (x)–решение (1). Z ₀(x)=a₁ j ₁₍x₀₎+…+a_n j _n(x₀)= 0 Таким образом Z (x) реш. задачи Коши.

d y /dx=A(x) y

y (x₀)=0

Такая задача (след.ТСЕ) имеет един. решение – нулевое решение, т.е."xÎI: Z (x)= 0

."xÎI: a₁ j ₁(x)+…+a_n j _n(x)≡0, причем a₁…a_n не все равные 0, след. j ₁(x)… j _n(x) – линейно зависимы.

След. Если j ₁(x)… j _n(x) лин. незав. на I решения (1), то "xÎI: W(x)=W[ j ₁(x)… j _n(x)]¹0

Пусть матрица-функция A(x)=||a_ij||_n*n непрерывна на I=<a,b>.d y /dx=A(x) y (1).

Определение1. ФСР однородная сист. ЛДУ (1) порядка n назыв. любые n линейно независ. решений этой системы.

Теор. У любой однор. системы ЛДУ существует ФСР. Доказательство: Зафиксируем x₀ÎI и вектора e₁= (1,0,…,0)^T, e₂= (0,1,…,0)^T,…, e_n= (0,0,…,1)^T. Поставим задачу Коши: d y /dx=A(x) y, y (x₀)= e_k, k=1…n. Обозначим j _k(x) – реш. этой задачи. Покажем, что решение j ₁(x)… j (x) линейно независимо. Вычислим: W(x₀)=W[ j ₁(x₀)… j _n(x₀)]=|1,0,…,0;0,1,…,0;…;0,0,…,1|=1¹0 (это квадр. матрица) Þ j ₁(x)… j _n(x) – линейно независимы на I Þ j ₁(x)… j _n(x) – ФСР.. D

Определение 2. Общим решением системы ЛДУ вида d y /dx=A(x) y + b (x) на промежутке I=<a,b> назыв. мн-во всех решений этой системы на I.

Теор. (об общем решении системы ЛДУ). Пусть j ₁(x)… j _n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y (x)=C₁ j ₁+…+C_n j _n, где C₁…C_n – произвольные числа.

d y /dx=A(x) y + b (x) (1); d y /dx=A(x) y (2); L=d/dx-A(x); L[ y ]= b (x) (1'); L[ y ]= 0 (2'); b (x), A(x) непр. на I.

Теор1. (св-ва решения неоднородной системы ЛДУ). 1. Если y (x) – решение системы (1), а j (x) – решение системы (2), то y (x)+ j (x) – решение (1). 2. Если y₁ (x), y₂ (x) – решения системы (1), то j (x)= y₁ (x)- y₂ (x) – решение приведенной системы (2). Доказательство: 1. Дано L[ y ]= b (x), L[ j ]= 0; L[ y + j ]=L[ y ]+L[ j ]= b (x)+ 0 = b (x); y + j- решение (1). 2. Известно L[ y₁ (x)]= b (x), L[ y₂ (x)]= b (x). L[ j ]=L[ y₁ - y₂ ]=Z[ y₁ (x)]-Z[ y₂ (x)]= b (x)- b (x)= 0 Þ j (x)-реш.сист. (2). D

Теор2. (об общем решении неоднородных систем ЛДУ). Пусть y (x) – частное решение системы (1), а j ₁(x)… j _n(x) – ФСР однородной системы (2), тогда любое решение y (x) неоднор. сист. (1) представ. в виде: y (x)= y (x)+C₁ j ₁+…+C_n j _n, где C₁…C_n – произвольные числа. Доказательство: Заметим, что любая вект.-функ. y (x)-_i=1SⁿС _ij_i (x)- решение сист. (1) (из теор 1). Пусть y (x) – произвольное решение (1), тогда y (x)- y (x)= j (x), где j (x)- реш. привед. сист. (2) (теор 1). По теор (_(об общем решении системы ЛДУ). Пусть j ₁(x)… j _n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y (x)=C₁ j ₁+…+C_n j _n, где C₁…C_n – произвольные числа._) j (x) может быть представ. в виде: j (x)=C₁ j ₁+…+C_n j _n, Следовательно, y (x)= y (x)+ j (x)= y (x)+C₁ j ₁+…+C_n j _n. D