Понятие дифференциального уравнения, его порядка и решения.

Понятие дифференциального уравнения, его порядка и решения.

Пусть Ω – область в и функция F(x,y,u₁…u_n)

Определение 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ) называется соотношение вида F (x,y, y ' y "… y⁽ⁿ⁾) =0, где x – независимая переменная

y=y(x) – функция от (х, y, y ' y "… y⁽ⁿ⁾) – производная y(x) n – порядок уравнения

Пример

a) F(x,y,u₁)=f(x,y)-u₁

F(х ,y, y ')=F(х ,y)- y '

F(х ,y) – y '=0 ó y '=F(х ,y)

Определение 2. Решением уравнения называется функция y=φ(x) определённая на промежутке I=<α,β> удовлетворяющие условию

1) Φ(x) ∈Cⁿ(I)

2) ∀x∈I:(x, φ (x), φ' (x),…, φⁿ (x)) ∈Ω

3) ∀x∈I:(x, φ (x), φ' (x),…, φⁿ (x)) ≡0

Пример 2:Пусть F(x) непрерывна на промежутке [a;b] и y(x) –первообразная F(x)

На [a;b]

Тогда y'(x)= F(x).Это уравнение порядка n=1

y(x) , где x₀∈[a;b]; уравнение имеет бесконечно много решений

Задачи, решаемые теорией ОДУ:

1) Отыскание всех решений ОДУ (то есть общего решения),

2) ОДУ решается с дополнительными условиями:

А) условия Коши,

Б) краевые условия,

В)функциональные условия.

В этом курсе мы будем решать задачу 1 и 2(а).

ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения.

Постановка задачи Коши.

Пусть область D∈ и F(x,y) определена на D y'=F(x,y)

Определение 3. φ(x) определена на промежутке I=<α,β> называют решением уравнения y'=F(x,y) если:

1) φ(x) ∈C¹(I)

2) ∀x∈I:(x, φ(x))

3) ∀x∈I:φ'(x) ≡F(x, φ(x))

Определение 4. Если y= φ(x) является решением y'=F(x,y),то график этой функции называют интегральной кривой уравнения y'=F(x,y).Ясно,что интегральная кривая

∈ D

Геометрическая интерпретация

Говорят,что в области D∈R² задано векторное поле ,если в каждой точке M(x,y) ∈ В поставлен в соответствии вектор (x,y),приложенный к этой точке

Для уравнения

y'=F(x,y) построено векторное поле

(x,y)= – поле направления

Пусть y= φ(x) интегральная кривая y'=F(x,y),

В точке (x, y)

y'= φ' (x)=F(x, φ(x))=F(x,y)

Т.е тангенс угла наклона к φ= φ(x) равен F(x,y)

Постановка Задачи Коши

Постановка задачи –необходимо понять,что задано и что надо найти

Дано: В области D заданы дифф.ур-ия y'= F(x,y) и два числа x₀ и y₀ такие,что (x₀,y₀) ∈D

Найти: решение y= φ(x) уравнения y'=F(x,y) определена на некотором интервале где x₀∈ I=<α,β> и удовлетворяет условию φ(x₀)=y₀, числа x₀ и y₀ называются начальными условиями.

Условная запись задачи Коши

y'= F(x,y),y(x₀)=y₀

Замечания

1) Если F(x,y) ∈C(D) То задача Коши имеет решение в любой точке в области D

2) Решений у уравнения y'= F(x,y)бесконечно много

3) (x₀,y₀) ∈D:Для единственности решения требует дополнительные условия

ТеоремаТСЕ1(локальная)

Пусть на области D∈ функция и (x,y) определена и непрерывна и точка (x₀,y₀) ∈D.Тогда уравнение имеет решение φ(x)

1)Определена на некоторой окрестности (x₀ – h, x₀ + h) точки x₀ , удовлетворяет условию

φ(x₀ )= y₀

2)Такое решение единственное(Без док-ва)

Замечание к ТСЕ

Пусть в D выполняется условие ТСЕ1

1)В D бесконечно много решений уравнения, x₀ - точка (x₀ , y₀) ∈D.Через эту точку проходит единственное решение y=φ(x₀ , y₀).Все эти решения не совпадают

Определение 6. Пусть удоволитворяет в D условием ТСЕ1

Функция y=φ(x,C) называют общем решением y'= F(x,y) в области D,если

1) ∀C: φ(x,C) решением φ(x,C)

2) Любое частное решение y'=F(x,y) может быть получен из φ(x,C) подбором соответствующего значения C

2⁰ Решением задачи может быть определена лишь на некоторой (небольшой) окрестности точки x₀

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Примеры.

ОДУ вида:(3) –называют уравнение с разделяющимися переменными

Теорема 1.Если непрерывная при a<x<b, непрерывна при c<y<d, причем ∀y∈(c,d):g(y)≠0,то через каждую точку M₀(x₀ , y₀) прямоугольника D= проходит единственное решение уравнения (3)

Доко-во

(3)y =f(x)g(y);g(y) ≠0

(3 ): =f(x)

Проинтегрируем по x: = ó

Обозначим

F(x)=

G(y)= из (3^*)

G(y)=F(x)+C

Т.к G = ≠0,то у G(y) существует обратный G^-1

Y=G^-1(f(x)+C) – решением уравнения (3)

Найдем решение проходящие (x₀ , y₀)

G(y₀)=F(x₀)+C; y= G^-1(f(x))

Замечания

1)Если ∃y^* такое g(y^*)=0 тогда,уравнение (3) имеет решение y=y^*

2) Алгоритм решения ур-ия (3)

a)g(y)=0 найти y^*g(y^*)=0,тогда y= y^*

б)g(y) ≠0; =f(x)ó =

3) =f(ax+by+c),a,b,c∈ ℝ, b≠0

Такое ур-ие сводится к ур-ию с разделяющими переменными

x- независимая переменная,z=z(x)

z'=a+bf(2) уравнение с раздел. Перемен

z=ax+by+c и z'=a+by'

Пример: ydx = (x +1) dy

Однородные уравнения

(4)y'=F(

Уравнение вида (4) называют однородным, x – независимая переменная U=U(x)

y=ux;u= ; y'=u'x+u

Уравнение (4) преобразуют к виду:u'x+u=F(u); u'=

Пример: xy'=y-x

Вводим новые переменные

1. =y _x; =F()-однородное уравнение

Однородное уравнение

Уравнение вида (5) y +p(x)y=f(x) называется линейным уравнением

Теорема 2. Пусть функция P(x) и f(x) непрерывны на интервале α<x< β.Тогда через любую точку

(x₀ , y₀) полосы D= ;проходит единственное решение уравнения (5), причем оно определенно на (

Уравнение (5) называется однородным, если f(x)=0 и неоднородно в противном случае

Док-во

Пусть уравнение является однородным,т.е (6) y +p(x)y=0 это уравнение с раздел. Перемен

y=0 решение

y≠0; ;

ln = ;C₁>0;lnC₁∈R

=C₁exp-

Потенцируем =aóy= a

y=C₁exp- C₁>0;

Введем новую С

у=Сexp--

Решением проходящим через (x₀,y₀),имеет вид y= y₀exp

y(x₀)=y₀1=y₀

Уравнение неоднородное

Пусть f(x) ≠0 Решением уравнения(5)

Рассмотрим однородное уравнение (6) y +p(x)y=0

Выписываются все решения этого уравнения y=C₁exp- ,оно представлена в виде y=C φ(x)

Св-ва φ(x)

1) φ(x) ∈С(, ∀x∈(: φ(x)>0

2) φ(x₀)=exp- =1

3) φ(x) решение ур-ие (6)на(

Т.е∀x∈(

φ (x)+p(x) φ(x) ≡0

Решение ур-ие(5)

Ищем в виде y=C(x) φ(x)

Где С(x) непрерывна дифф. на ( функция подлежит определению

Подставим y=C(x) φ(x) в (5)

y = C (x) φ(x)+ C(x) φ (x)

+p(x)C(x) φ(x)=f(x) т.к C(x) +C(x)p(x) φ(x) ≡0

То C (x) φ(x)=f(x)

Т.к φ(x)>0 на (

C (x)= ∈C(

C(x) d +K, K ∈R

Подставим С(x) в y(x)

y(x)= d +K) φ(x)

В результате

y(x)= +

y_о.н=y_ч.н+y_o.o

Решение преход через (x₀,y₀)

y= d +y₀

y(x₀)= d +y₀ =y
Уравнение Бернулли

(7) y +p(x)y=f(x)yⁿ - Уравнение Бернулли(n≠0,n≠1)

Если n>0,то y≡0 –решение (7)

+p(x) =f(x)

Вводим новую зависимость переменных

z(x)=

=()=( =(1-n)y^-n =(1-n) ;z +(1-n)p(x)z=(1-n)f(x) – лин. относ z(x)

Уравнение Риккати

y =a(x)y²+b(x)y+c(x) –оно не решается в квадратурах

Уравнения Лагранжа и Клеро.

Ур-ие Лагранжа: y=f(y’)*x+g(y’) (1); f(y’) ≠y’; y’=p; {x=x(p),y=y(p); {x=x(p),y=f(p)*x+g(p); y_x’=f(p)+x*df/dp* p_x’+dg/dp* p_x’; p-f(p)=x*df/dp* p_x’+dg/dp* p_x’; Если p-f(p) ≠0 и т.к. p_x’≠0; (p-f(p))* x_p’=x*df/dp+dg/dp лин. ур-ие относит. x(p). Если сущ-ет p₀

такое, что f(p₀)= p₀=0, т.е. f(p₀)= p₀

то ур-ие (1) имеет реш-ие вида; y=f(p₀)+g(p₀) или y= p₀*x+g(p₀));

Ур-ие Клеро: y=x*y’+g(y’)(2); вводим параметр p=y’; {x=x(p), y=x*p+g(p); y_x’=p+x* p_x’+ g_p’*p_x’; p = p + x*p_x’ + g_p’*p_x’; [x + g_p’(p)]*p_x’ = 0; a) p_x’=0 óp=c; y=c*x+g(c) семейство прямых(реш ур-ия (2)); б) x+g’(p)=0óx=-g’(p); Уравнение интегральной кривой γ: {x = - g’(p); y = - p*g’(p) + g(p); Пусть g(p) ЄC1(I), g’’≠0; в этом случае γ-особая интег-ая кривая(2), пусть p₀Є I: (x₀;y₀) Є γ; { x₀ =-g’(p₀), y₀=- p₀g’(p₀)+g(p₀) Для γ в точке (x₀;y₀) y_x’ - тангенс угла наклона касательной y_x’ (x₀;y₀)= p₀; y=c*x+g(c); {x₀=-g’(p₀), y₀=- p₀*g’(p₀)+g(p₀)=c* x₀+g(c); y_x’(x₀)= p₀=c; c= p₀; реш-ие y= p₀*x+g(p₀) проходит через точку (x₀;y₀) касаясь интегр-ой кривой особая инт-ая кри

Примеры.

(1) F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = 0 – называется неразрешённым относительно старшей производной.

I. F(x, y ’, y ’’,..., y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 – функция не содержит y.

Осуществим замену переменной: х – независимая переменная;

z(x) = y’(x), y’’= z’,…,y⁽ⁿ⁾ = z^(n-1)

F(x, z, z’, …, z^(n-1)) = 0.

II. Левая часть не содержит (явно) x.

F(y, y’, y’’..., y ⁽ⁿ⁾ ) = 0; у – независимая переменная;

t = t(y) = y_x’; t – функция от у.

y_xx’’ =(у_х’)_х’ = t_x’= t_y’*y_x’= t*t_y’

y_xxx’’’ = (y_xx’’)’ = (t*t_y’)_x’ = (t*t_y’)_y’*y_x’ = t*(t*t_y’)_y’

F(y, t, t_y’..., t ^(n-1) ) = 0.

III. F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = 0;

Пусть Ф(x, y, y’,..., y ^(n-1)) такая, что

F(x, y, y’,..., y ⁽ⁿ⁾) = d/dxФ(x, y, y’, y’’,..., y ^(n-1) ), тогда исходное ур. эквивалентно Ф(x, y, y’, y’’,..., y ^(n-1)) = C.

Пример.

y*y’’ + y’² = 1.

Решение:

(Х)_х’ = 1; (y*y’)’ = y*y’’ + y’*y’; (y*y’)_x’ = (Х)_х’;

y*y’ = x + C₁; ∫y*dy = ∫(x + C₁)dx; y²/2 = x²/2 + C₁*x + C₂;

y² = x² + 2*C₁*x + 2*C₂; K₁ = 2*C₁; K₂ = 2*C₂.

Ответ: y² = x² + K₁*x + K_2.

12.Линейное дифференциальное уравнение(ЛДУ)порядка n.Формулировка ТСЕ задачи Коши для ЛДУ высшего порядка.
равнения этого вида обычно записывают в следующем виде:

 

где a (x_i)–переменные коэффициенты; n – порядок старшей производной (она и определяет порядок уравнения); y (x) – зависимая переменная и все её производные только в первой степени (т.е. это линейное уравнение); F (x) – правая часть. Если она не равна нулю, то это неоднородное уравнение, а если F(x)=0 – однородное.

Линейный уранения n-ого порядка с переменными коэффициентами.

Опр:линейными уравнениями n-ого порядка с переменными коэффициентами называются уравнения типа

= f(x) (1)

Где (i=1,n) и f(x) –заданые и непрерывные на (a,b) функции.

Задача коши для лимнейного оду n-ого порялка

Найти решение y=y(x) уравнения (1),удовлетворяющего n начальным условиям

(2)

Где –заданные вещественные числа(начальные данные)

Теорема (ТСЕ решения линейного ОДУ n-ого порядка с переменными коэффициенами.

Усл. Пусть

Утв. При любых начальных данных

,определенное на всем интервале (a,b)

Линейное ОДУ n-ого подярка с переменными коэффициентами может быть сведено к системе n уравнений 1-ого порядка.Дейстительно,полагая ,получим следущую систему уравнений.

13. ЛДУ порядка n и линейный дифференциальный оператор. Свойство решений однородного ЛДУ.

Определение.

Линейным дифференциальным оператором n-ого порядка называется закон,ставящий в соответствие произвольной функции некоторую функцию,слово «линейный» по отношению к оператору L,означает,что выполнены следующие равенства

1)L[

2)

,где α-некоторая произвольная постоянная;

Линейное ОДУ n-ого порядка определяет линейный опреатор L следующим образом:

Линейное Оду n-ого порядка с помощью оператора L может быть записано в виде

L[y] = f(x)

Определение если f(x)=0 при x (a,b),то уравнение называется однородным,в противном случае-неоднородным.

Рассмотрим однородное ОДУ n-ого порядка

,Где

Теорема.

Если решение y=y(x) уравнения обращается в нуль вместе со своими производными до (n-1)-ого порядка включительно хотябы в одной точке ,то это решение тривиально,те y(x)=0 на (a,b)

Если функция -произвольные постояные,то

Функция так же является решением этого уравнения.

Теор.

Пусть p1(x),…, pn(x) ∈C(I),тогда пространство решений однородного ЛДУ

(7) L[y]=0= y(n)+ p1(x) y(n-1) +….+ pn(x) y порядка n конечномерно, и его размерность равна n.

Док-во.

Укажем базис в пространстве решений уравнения (7)

Зафиксируем точку x0 ∈I

y₁ (x0)=1, y⁽¹⁾ (x0)=0,…., y^(n-1) (x0)=0

По ТСЕ эта задача имеет единственное решение, определенное н а всем промежутке I.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (7) с начальными условиями.

y^(k)(x0)=1, y⁽ⁱ⁾(x0)=0 I не равно K

Эта задача имеет решение.Обозначим его y_k+1 (x)

Получим систему решений уравнения (7)

;

Эти решения линейно независимы.

 

— линейно независимы (по следствию 4)

Пусть φ (x)-произвольное решение уравнения (7)

Вычислим значение φ (x), φ' (x) ….. в x0∈I

Обозначим a₁₌ φ (x0), _,…, a_n= φ ^(n-1) (x0)

Построим z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)

Z(x)-решение уравнения (7)

z(x0)= a₁ y₁ (x0)+….+ a_n y_n (x0)- φ (x0)=0

и все производные тоже равны 0.

Итак,решение уравнения (7) z(x) удовлетворяет начальным условиям z(x0)=0,и все остальные производные равны нулю.

Следовательно по замечанию к ТСЕ3, решение z(x)=0

z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0

y₁ (x), ……..,y_n(x)-базис в пространстве решений уравнения

Замечание ТСЕ 3.

Если z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0 и y(x0)=0 как и все производные y, то эта задача Коши имеет только нулевое решение y=

 

 

Постановка задачи Коши

Дано: 1)Система (1)

2) Точка

Найти: - решение определенное на окрестности точки и удовлетворяющая условиям:

или

– начальное условие задачи Коши

 

Запись:

Теорема(ТСЕ1 для нормальной системы ОДУ): Пусть вектор-функция определены и непрерывны в области и точка

Тогда существует - решение задачи, Коши такое: , определенное на интервале

Устойчивый фокус

 

а) =Re ,

Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные

спирали

 

 

Неустойчивый фокус

38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае ,

A= ,

Точки покоя:

,

, единственная точка покоя (0,0).

det(A-λE) = 0

=0 – характеристическое уравнение.

– корни характеристического уравнения.

кратные корни

= +

-собственный вектор, отвечающий

1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к )

а)

асимптоти-чески устойчивая система

 

Устойчивый вырожденный узел

б) неустойчивая система

 

Понятие дифференциального уравнения, его порядка и решения.

Пусть Ω – область в и функция F(x,y,u₁…u_n)

Определение 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ) называется соотношение вида F (x,y, y ' y "… y⁽ⁿ⁾) =0, где x – независимая переменная

y=y(x) – функция от (х, y, y ' y "… y⁽ⁿ⁾) – производная y(x) n – порядок уравнения

Пример

a) F(x,y,u₁)=f(x,y)-u₁

F(х ,y, y ')=F(х ,y)- y '

F(х ,y) – y '=0 ó y '=F(х ,y)

Определение 2. Решением уравнения называется функция y=φ(x) определённая на промежутке I=<α,β> удовлетворяющие условию

1) Φ(x) ∈Cⁿ(I)

2) ∀x∈I:(x, φ (x), φ' (x),…, φⁿ (x)) ∈Ω

3) ∀x∈I:(x, φ (x), φ' (x),…, φⁿ (x)) ≡0

Пример 2:Пусть F(x) непрерывна на промежутке [a;b] и y(x) –первообразная F(x)

На [a;b]

Тогда y'(x)= F(x).Это уравнение порядка n=1

y(x) , где x₀∈[a;b]; уравнение имеет бесконечно много решений

Задачи, решаемые теорией ОДУ:

1) Отыскание всех решений ОДУ (то есть общего решения),

2) ОДУ решается с дополнительными условиями:

А) условия Коши,

Б) краевые условия,

В)функциональные условия.

В этом курсе мы будем решать задачу 1 и 2(а).