Расчёт сложных электрических цепей

 

В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.

Используя законы Ома и Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.

Одним из методов расчёта сложных электрических цепей является метод наложение токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из ЭДС цепи в отдельности. На рис. изображена цепь, содержащая три источника с ЭДС E ₁, E ₂, E ₃ и четыре последовательно соединенных резистора R ₁, R ₂, R ₃, R ₄. Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи R = R ₁ + R ₂ + R ₃ + R ₄. Допустим сначала, что ЭДС первого источника E ₁ ≠ 0, а второго и третьего E ₂ = 0 и E ₃ = 0. Затем положим E ₂ ≠ 0, а E ₁ = 0 и E ₃ = 0. И наконец, полагаем E ₃ ≠ 0, а E ₁ = 0 и E ₂ = 0. В первом случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E ₁, равен I ₁ = E ₁ / R; во втором случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E _2, равен I ₂ = E ₂ / R; в третьем случаи ток равен I ₃ = E ₃/ R и совпадает по направлению с ЭДС E _3. Так как ЭДС E ₁ и E ₃ совпадает по направлению в контуре, то и токи I ₁ и I ₃ также совпадают, а ток I 2 имеет противоположное направление, так как ЭДС E ₂ направлена встречно по отношению к ЭДС E ₁ и E ₃. Следовательно, ток в цеп равен

I = I ₁ – I ₂ + I ₃ = E ₁ / R – E ₂ / R + E ₃ / R =

= (E ₁ – E ₂ + E ₃) / (R ₁ + R ₂ + R ₃).

 

Электрическая цепь с тремя источниками энергии

Направление на любом участке цепи, например между точками а и б,равно U _аб = IR ₄.

При расчёте сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех ЭДС.

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направления тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком «-». Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причём число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление. Пусть ЭДС источников E ₁ = E ₂ =120B, их внутренние сопротивления R ₁ = 3 Ом и R ₂ = 6 Ом, сопротивление нагрузки R = 18 Ом.

Так как число неизвестных токов 3, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I ₁ + I ₂. Второе уравнение запишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивление нагрузки: E ₁ = I ₁ R ₁ + IR. Аналогично запишем третье уравнение: E ₂ = I ₂ R ₂ + IR. Подставляя числовые значения, получим 120 В = 3 I ₁ + 18 I и 120 В = 6 I ₂ + 18 I. Таккак E ₁ – E ₂ = I ₁ R ₁ – I ₂ R ₂ = 3 I ₁ – 6 I ₂ = 0, то I ₁ = 2 I ₂ и I = 3 I ₂. Подставляя эти значения в выражение для ЭДС E ₁, получим 120 =

= 2 I 2 × 3 + 18 × 3 I ₂ = 60 I ₂, откуда I ₂ = 120 / 60 = 2A, I ₁ = 2 I ₂ = 4A, I = I ₁++ I 2 = 6A.

В сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений. Обозначив потенциалы в узловых точках φа – φб, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т.е.

U = φа – φб.

 

а б

 

Схема к расчету сложно электрической цепи:

а – по методу узловых напряжений;

б – по методу контурных токов

 

Приняв за положительное направление ЭДС и токов в ветвях от узла, а к узлу б для каждой из ветвей, можно записать равенства: I ₁ = (φа – φб – E ₁)/

/ R ₁ = (U – E ₁) g ₁; I ₂ = (φа – φб – E ₂) / R ₂ = (U – E ₂) g ₂; I ₃ = (φа – φб – E ₃) / / R ₃ = (U – E ₃) g _3; I = (φа – φб) / R = Ug _.

На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем I ₁ + I ₂ + + I ₃ + I = 0. Подставим в эту сумму значения токов, найдем

 

(U – E ₁) g ₁ + (U + E ₂) g ₂ + (U – E ₃) g ₃ + Ug = 0,

откуда

U = (E ₁ g ₁ – E ₂ g ₂ + E ₃ g ₃) / (g ₁ + g ₂ + g ₃ + g) =

= Σ Eg / Σ g,

 

т.е. узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей. Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для оков в ветвях, легко определить эти токи.

Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и ЭДС, применяют метод контурных токов. Который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, первый из которых представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй – другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от взаимного относительного направления.

 

При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров. Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R ₁₁, R ₂₂ и т.д., а вторую – индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R ₁₂, R ₁₃ и т.д.

Если контур содержит несколько источников с ЭДС E ₁, E ₂, E ₃ и т.д., то на основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение: E ₁ ± E ₂ ± E ₃ + … = I ₁ R ₁₁ + I ₂ R ₁₂ + I ₃ R ₁₃ +…. В этом уравнении знак «+» или «-» берется в зависимости от взаимного относительного направления ЭДС и токов в контуре (при одинаковом направлении - «+», в противоположном - «-»). Аналогичные уравнения могут быть записаны для всех контуров, входящих в сложную электрическую цепь. Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС каждого контура равна алгебраической сумме произведения тока в данном контуре на сумму сопротивлений всех звеньев, образующих его, и контурных токов всех контуров, смежных с данным контуром, на сопротивления общих звеньев.

На рис. б изображена сложная электрическая цепь, содержащая три контура. В цепи два источника с ЭДС E ₁ = 12 B, E 2 = 8 B и внутренними сопротивлениями R ₀₁ = 4 Ом, R ₀₂ = 3 Ом и пять сопротивлений

R ₁ = 20 Ом, R ₂ = 29 Ом, R ₃ = 40 Ом, R ₄ = 8 Ом, R ₅ = 16 Ом.

Находим сопротивления: R ₁₁ = R ₁ + R ₀₁ + R ₁₃ = 20 + 4 + 8 = 32 Ом;

R ₂₂ = R ₂ + R ₀₂ + R ₂₃ = 29 + 3 + 16 = 48Ом; R ₃₃ = R ₃ + R ₃₁ + R ₃₂ =

= 40 + 8 + 16 = 64 Ом; R ₁₃ = R ₃₁ = 8 Ом; R ₂₃ = R ₃₂ = 16 Ом.

На основании второго закона Кирхгофа составляем уравнения:

 

для контура 1:

E ₁ = I ₁ R ₁₁ – I ₃ R ₁₃; 12 = 32 I ₁ – 8 I ₃;

для контура 2:

E ₂ = I ₂ R ₂₂ – I ₃ R ₂₃; 8 = 48 I ₂ – 16 I ₃;

 

для контура 3:

E ₃ = I ₃ R ₃₃ – I ₃ R ₃₂; 0 = 64 I ₃ – 16 I ₂ – 8 I.

 

Решаяэтиуравнения, находим: I ₁ = 0,4A; I ₂ = 0,2A; I ₃ = 0,1A; I ₄ = I ₁ – - I ₃ = 0,3A; I ₅ = I ₂ – I ₃ = 0,1A.

Приложение 14