Случайные величины. Определение 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Случайные величины. Определение



 

О п р е д е л е н и е. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее- какое именно.

 

Пример 1. Бросаем две монеты. Число выпавших гербов - случайная величина. Возможные ее значения-0,1,2.

Пример 2. Ученик сдает экзамен. Отметка, которую он получит - случайная величина. Ее возможные значения - 2,3,4,5.

Во всех перечисленных примерах речь идет о так называемых дискретных случайных величинах, т.е. о тех величинах, у которых возможные значения отделены интервалами. На оси абсцисс возможные значения таких величин изобразятся отдельными точками.

Другой тип случайных величин - непрерывные случайные величины. Значения их заполняют какой-то участок числовой оси.

 

Пример 3. Промежуток времени между двумя сбоями вычислительной машины- непрерывная случайная величина. Нижняя граница такой случайной величины- 0, верхняя граница- не определена.

 

Пример 4. Вес грузового поезда, подаваемого для загрузки, - непрерывная случайная величина.

 

Контрольные задания

Задача 1. Привести пример дискретной случайной величины.

 

Задача 2. Привести пример непрерывной случайной величины.

 

Задача 3. Случайная величина Х -это: а) температура воздуха в классе; б) длина произвольного отрезка; в) средний балл выбранного ученика на сессии. Определить тип с.в.Х.

 

 

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Пусть Х - случайная величина с некоторыми значениями. Эти значения не одинаково вероятны: есть более или менее вероятные.

О п р е д е л е н и е. Законом распределения случайной величины называется любая функция, которая описывает распределение вероятности между ее значениями.

Существуют следующие способы задания этой функции: табличный, аналитический, графический.

В соответствии с этим закон распределения представляется тремя формами: рядом распределения, функцией (плотностью) распределения, многоугольником распределения.

Рассмотрим подробнее эти формы.

 

Ряд распределения.

С помощью ряда распределения задается закон распределения для дискретной случайной величины. Задать ряд распределения- значит перечислить всевозможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

 

Xi X1 X2 Xk
Pi P1 P2 Pk

 

где Pi- вероятность того, что случайная величина Х примет значение Хi, i=1......n.

 

Пример 1. Производятся три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле р=0,4. Х - число попаданий в мишень. Построить ряд распределения.

Решение. Обозначим Р0 =р(Х=0), Р1 =р(Х=1), Р2 =р(Х=2), Р3=р(Х=3). Имеем следующий ряд распределения:

 

Хi        
Рi Р0 Р1 Р2 Р3

 

Вычислим неизвестные вероятности.

Р0 =р(---)=0,6 · 0,6 ·0,6= 0,216.

Р1 =р(+-- или -+- или --+)= 0,6 ·0,6 ·0,4 ·3= 0,432.

Р2 =р(++- или +-+ или -++)= 0,4 ·0,4 ·0,6 ·4= 0,288.

Р3 =р(+++)=0,4 ·0,4 ·0,4=0,064.

Для проверки, сумма всех вероятностей должна быть равна 1.Окончательно, ряд распределения имеет следующий вид:

 

Хi        
Рi 0.216 0.432 0.288 0.064

 

Мы не будем подробно останавливаться на еще одном способе задания закона распределения- с помощью многоугольника распределения. Достаточно рассматривать пару (Хi,Pi) как координаты точки на плоскости. После изображения всех таких точек на плоскости их соединяют отрезками и получают некую многоугольную фигуру, которую принято называть многоугольником распределения.

 

Плотность распределения.

Для задания закона распределения непрерывных случайных величин используется плотность распределения.

О п р е д е л е н и е. Плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х в точке х называется предел отношения вероятности попадания Х на малый участок, примыкающий к точке х, к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х (например, рост человека). Воспроизведем над Х ряд опытов, в каждом из которых она принимает какое-нибудь значение (измеряем рост группы людей). Нас интересует распределение вероятностей для Х. Разобьем весь диапазон значений Х на какие-нибудь участки (разряды), например 150-155см,155-160см, 160-165см,..., 195-200см. Подсчитаем, сколько значений Х попало в каждый разряд, разделим на общее число произведенных опытов и получим "частоту разряда": сумма всех частот, очевидно, равна 1.Теперь подсчитаем плотность частоты для каждого разряда: разделим частоту на длину разряда. Если испытаний достаточно много, то можно получить достаточно полное представление о распределении Х, т.е. о плотности вероятности Х. Построим графическое представление закона распределения Х. По оси абсцисс отложим диапазоны изменения Х. Над каждым интервалом построим прямоугольник, площадь которого равна частоте разряда. Нетрудно понять, что суммарная площадь таких прямоугольников равна 1.

По мере увеличения числа опытов, разряды можно уменьшать, тогда ступенчатый характер построенной фигуры будет сглаживаться и стремиться к некоторой кривой (см. рисунок), которая называется кривой распределения.

По оси ординат при этом уже откладываются не плотности частот, а плотности вероятностей f(х). Площадь, ограниченная этой кривой, равна 1. Вероятность попадания Х на участок от а до в равна площади криволинейной трапеции, опирающейся на этот участок, т.е.

 

Т.о. плотность может быть определена опытным путем при большом числе испытаний. На самом деле не всегда требуется большое число испытаний. Строится гистограмма, а затем сглаживается кривой, ограничивающей единичную площадь. Для построения такой кривой у теории вероятностей имеются многочисленные методы.

 

Контрольные задания

Задача 1. Построить для предыдущего примера многоугольник распределения.

 

Задача 2. Производится ряд выстрелов с вероятностью попадания 0,8.Стрельба ведется до первого попадания, но не более 4-х выстрелов. С.в. Х- число выстрелов, которое придется произвести до первого попадания. Построить ряд распределения для с.в. Х.

 

Задача 3. В лотерейном барабане находится 1 билет стоимостью 10000 рублей, 4 билета стоимостью 50000 рублей, шесть 4000руб., восемь - 2000руб., десять -1000руб., а 71- пустой. С.в. Х - стоимость вынутого билета. Построить ряд распределения для с.в. Х.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 336; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.51.235 (0.022 с.)