Случайные события. Вероятность 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Случайные события. Вероятность



 

Первые идеи теории вероятностей были сформулированы в переписке Блеза Паскаля и Пьера Ферма, а также в работе Христиана Гюйгенса (1629-1695) "О расчетах в азартных играх".

В большинстве физических законов, известных из школьного курса физики (закон Бойля-Мариотта, Гей Люссака), использован детерминистический подход: если выполнен некоторый комплекс условий, то событие А неизбежно наступает. На самом деле все значительно сложнее. Например, пусть комплекс условий: давление-760 мм рт.ст., температура-100º, событие А: вода начинает кипеть. На практике можно убедиться, что событие А может и не наступить. Это объясняется, например, наличием в воде примесей, влияющих на ее температуру кипения.

Этот простой пример объясняет, почему необходимо рассматривать закономерности статистического или вероятностного типа: наличие комплекса условий, в котором производятся наблюдения, не влечет за собой неизбежного появления события А, а только определяет некоторую вероятность р его появления.

О п р е д е л е н и е. Вероятность р -это объективная числовая характеристика, дающая представление о том, как часто при большом числе наблюдений появится событие А.

При изменении комплекса условий меняется и вероятность р. Воздействуя на комплекс условий, можно добиться увеличения или уменьшения вероятности события А.

О п р е д е л е н и е. Случайное событие - это событие, которое может быть воспроизведено многократно и для которого имеет смысл говорить о его вероятности, т.е. при большом числе наблюдений отношение числа появления интересующего нас события к числу всех наблюдений приблизительно величина постоянная.

Таким образом, понятие случайного события подразумевает:

а) оно не произвольно, а подчинено некоторым своеобразным закономерностям, которые называются вероятностными или стохастическими;

б) оно таково, что его можно повторить практически бесконечное число раз;

в) имеет определенную вероятность появиться при каждом заданном испытании в заданных условиях.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

 

р(А)= m/n

 

Пример 1.. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Вынимаем шар. Какова вероятность того, что вынутый нами шар окажется белым?

Решение. Так как всего мы имеем 5 шаров, то всего 5 случаев, т.е. n=5. Благоприятных случаев 2 т.к. имеется 2 белых шара. Т.о. m=2. Следовательно,

р(А)=2/5=0,4.

 

Пример 2.. Какова вероятность того, что при одновременном бросании двух костей сумма выпавших очков будет равняться 4?

Решение. Всего имеем 36 возможностей. Из них благоприятствующих появлению рассматриваемого события будет 3: (1+3,2+2,3+1). Следовательно,

р(А)=3/36=1/12.

 

Вероятность р(А) обладает следующими свойствами:

1. 0< р(А) <1

2. Если событие В происходит тогда, когда происходит событие А, то р(В)>р(А)

3. Если случайные события А и В- несовместны (одновременно не происходят) то вероятность того, что появится либо событие А, либо событие В (А+В):

 

р(А+В)= р(А)+р(В) (1)

 

4. Вероятность достоверного события (которое всегда наступает) равна 1, вероятность невозможного события (которое никогда не наступает) равна 0.

О п р е д е л е н и е. Два несовместных события А и В называются противоположными, если при любой реализации комплекса условий, одно из них обязательно наступает, иначе, А и В противоположны, если р(А+В)=1. В этом случае пишут

_

В = А.

 

Контрольные задания

Задача 1. В урне 5 красных, 2 синих, 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1,2...10. Пусть событие А: вынимаем шар с четным номером, событие В: номер вынутого шара кратен 3,событие С: вынутый шар красного цвета, событие D: вынутый шар синего цвета, событие Е: вынутый шар белого цвета. Что представляют собой следующие события: А+В,С+Е, АD, ВЕ?

 

Задача 2. Пусть А,В,С- три произвольных события. Найти выражения для событий, которые состоятся в следующих случаях: а) произошло только событие А; б) произошло одно и только одно событие; в) произошли два и только два события; г) произошли все три события?

 

Задача 3. В урне содержится 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Вынимаем один шар. Найти вероятность того, что этот шар цветной.

 

Задача 4. Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,7.Найти вероятность того, что день будет ясным.

Указание: вспомнить, что такое противоположное событие

 

Задача 5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что абсолютная величина разности выпавших очков равна 2?

 

 

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

 

Для практических расчетов иногда необходимо вычислять вероятность совмещения событий.

Пусть АВ- событие, состоящее в том, что произойдет и событие А, и событие В.

О п р е д е л е н и е. Если вероятность события А не изменяется от того, произошло событие В или нет, А и В называются независимыми.

Пусть р(А/В)- вероятность того, что А наступит при условии, что В произошло или условная вероятность события А при условии, что В произошло. Если А и В независимые, то р(А/В)=р(А).

Теорема умножения:

 

р(АВ)= р(В)р(А/В)=р(А)р(В/А). (2)

 

Если А и В - независимы, то

р(АВ)= р(А)р(В).

 

Пример 1. Пусть А- событие, что на одной игральной кости выпадет 6 очков. В - событие, что на второй игральной кости выпадет 3 очка. А и В - независимы.

Рассмотрим ряд задач на применение формул (1) и (2)

 

Пример 2. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают один за другим два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А- событие, что 1-й шар белый, В- событие, что 2-й шар белый. Нужно найти р(АВ). По формуле (2) р(АВ)=р(А)р(В/А). Очевидно, что р(А)= 3/7, р(В/А)=2/6=1/3. Следовательно, р(АВ)= 3/7 · 1/3=1/7.

 

Пример 3. В урне находятся 5 перенумерованных шаров. Из нее вынимаем один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера шаров будут идти в порядке возрастания.

Решение. По формуле (2) имеем р(1,2,3,4,5)=1/5 ·1/4 · 1/3 ·1/2 ·1= 1/120.

 

Пример 4. В ранце школьника лежат 8 букв разрезной азбуки: две буквы "а", три "к", три "м". Вынимаем 3 карточки одну за другой и кладем на стол. Найти вероятность того, что из вынутых букв сложится слово "мак".

Решение. По формуле (2) имеем р("мак")= 3/8 ·2/7 ·3/6= 3/56.

Изменим последнюю задачу: условия те же, но вынимаем одновременно три карточки. Вопрос остается тот же (при этом условии порядок букв безразличен). Нас устроит "мак", "амк", "кма" и т.д. Таких вариантов столько же, сколько перестановок из трех элементов:

Р =1·2·3=3!=6.

Нужно вычислить вероятности всех этих шести вариантов и по формуле (1) сложить.

р("амк")=2/8 · 3/7 ·3/6= 3/56,

р("кам")= 3/8 ·2/7 ·3/6= 3/56 и т.д.

В результате р(А)=3/56 ·6= 9/28.

 

Пример 5. Стрелок производит 4 выстрела по цели. Попадание или нет при каждом выстреле не зависит от остальных результатов (выстрелы независимы). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найти вероятность того, что при стрельбе первые три раза стрелок промахнется, а в четвертый раз попадет в цель.

Решение. Очевидно, что вероятность промаха равна 0,7. По формуле (2) имеем р(А)= 0,7 x 0,7 x 0,7 x 0,3= 0,1029.

 

Пример 6. Условия те же, что и в задаче 4. Найти вероятность того, что из 4-х выстрелов два попадут в цель.

Решение. Введем обозначения: + -попадание в цель, - -промах.

Нас устроят следующие варианты: ++--, --++, и т.д. Найдем вероятность каждого из таких вариантов и по формуле (1) сложим их:

р(++--)= 0,3 x 0,3 x 0,7 x 0,7= 0,0441,

р(--++)= 0,7 x 0,7 x 0,3 x 0,3= 0,0441 и т.д. В результате получаем:

р(А)= 0,0441 x 6= 0,2646.

 

 

Контрольные задания

Задача 1.. Три стрелка стреляют по общей мишени. Первый попадает в цель с вероятностью 0,4, второй- с 0,5,Третий- с 0,7.Найти вероятность, что после того, как каждый стрелок один раз выстрелит по мишени, в ней будет два попадания.

 

Задача 2. В денежно-вещевой лотереи на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел 2 билета. Какова вероятность выигрыша: а) хотя бы на один билет; б) по первому - денег, а по второму - вещей?

Указание к а): рассмотреть противоположное событие.

 

Задача 3. Достигшему 60-летнего возраста вероятность умереть на 61-м году равна в определенных условиях 0,09. Какова в этих условиях вероятность, что из трех человек 60-ти лет: а) все трое будут живы через год; б) по крайней мере один из них будет жив?

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 307; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.197.116.176 (0.016 с.)