Методи побудови функцій приналежності нечітких множин

У приведених вище прикладах використані прямі методи, коли експерт або просто задає для кожного xÎE значення mA(x), або визначає функцію приналежності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, година, відстань, тиск, температура і т.д., тобто коли виділяються полярні значення.

У багатьох задачах при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і для кожного з них визначити полярні значення, що відповідають значенням функції приналежності, 0 чи 1.

Наприклад, у задачі розпізнавання обличчя можна виділити наступні пункти:

x1	висота чола	низький	широкий
x2	профіль носа	кирпатий	горбатий
x3	довжина носа	короткий	довгий
x4	розріз очей	вузькі	широкі
x5	колір очей	світлі	темні
x6	форма підборіддя	гострий	квадратний
x7	товщина губ	тонкі	товсті
x8	колір обличчя	темний	світлий
x9	обрис обличчя	овальне	квадратне

Для конкретного обличчя А експерт, виходячи з приведеної шкали, задає mA(x)Î [0,1], формуючи векторну функцію приналежності { mA(x1), mA(x2),... mA(x9)}.

Непрямі методи визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається потрібна нечітка множина. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, mA(xi) = wi, i=1,2,...,n, тоді попарні порівняння можна представити матрицею відношень A = {aij}, де aij=wi/wj (операція ділення).

Операції над нечіткими множинами

Вміщення

Нехай A і B - нечіткі множини на універсальній множині E.

Говорять, що A міститься в B, якщо "x ÎE mA(x) <mB(x).

Позначення: A Ì B.

Іноді використовують термін "домінування", тобто у випадку коли A Ì B, говорять, що B домінує A.

Рівність

A і B рівні, якщо "xÎE mA(x) = mB (x).

Позначення: A = B.

Доповнення

Нехай M = [0,1], A і B - нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюють один одного, якщо

"xÎE mA(x) = 1 - m B(x).

Позначення: B = чи A =

Очевидно, що = A. (Доповнення визначене для M = [0,1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого M).

Перетинання

AÇB - найбільша нечітка підмножина, що міститься одночасно в A і B.

mAÇB(x) = min(mA(x), mB(x)).

Об'єднання

А È В - найменша нечітка підмножина, що включає як А, так і В, з функцією приналежності:

mAÈ B(x) = max(mA(x), m B(x)).

Різниця

А - B = АÇ з функцією приналежності:

mA-B(x) = mA Ç (x) = min(mA(x), 1 - m B(x)).

Диз'юнктивна сума

АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç ) È( Ç B) з функцією приналежності:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

Приклади

Нехай:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Тут:

1. AÌB, тобто A міститься в B чи B домінує A, С незрівнянно ні з A, ні з B, тобто парі {A, С} і {A, С} - парі недомінуємих нечітких множин.

2. A ¹ B ¹C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АÈС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - С = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А = Ç С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.