Вибір оптимального рішення за критерієм Байєса

Варіант рішення	Варіанти станів середовища	V (Ai, Sj) · Pj	max i { V (Ai, Sj) · Pj }
S 1	S 2	S 3
А 1	2,5	3,5	4,0	2,5 · 0,25 + 3,5 · 0,55 + 4,0 · 0,2 = 3,35
А 2	1,5	2,0	3,5	1,5 · 0,25 + 2,0 · 0,55 + 3,5 · 0,2 = 2,18
А 3	3,0	8,0	2,5	3,0 · 0,25 + 8,0 · 0,55 + 2,5 · 0,2 = 5,65	А3
А 4	7,5	1,5	3,5	7,5 · 0,25 + 1,5 · 0,55 + 3,5 · 0,2 = 3,40

 

За критерієм Байєса оптимальним буде альтернативне рішення А 3.

Критерій Лапласа характеризується невідомим розподілом імовірностей на множині станів середовища та базується на принципі «недостатнього обґрунтування», який означає: коли немає даних для того, щоби вважати один зі станів середовища більш імовірним, то ймовірності станів середовища треба вважати рівними. Оптимальну альтернативу за критерієм Лапласа знаходимо за формулами:

для ; (3)

для . (4)

Таблиця 3

Вибір оптимального рішення за критерієм Лапласа

Варіант рішення	Варіант стану середовища		max i {1/ nV (Ai, Sj)}
S 1	S 2	S 3
A1	2,5	3,5	4,0	1/3 · (2,5 + 3,5 + 4,0) = 3,33
A2	1,5	2,0	3,5	1/3 · (1,5 + 2,0 + 3,5) = 2,33
A3	3,0	8,0	2,5	1/3 · (3,0 + 8,0 + 2,5) = 4,50	А3
A4	7,5	1,5	3,5	1/3 · (7,5 + 1,5 + 3,5) = 4,16

За критерієм Лапласа оптимальним буде альтернативне рішення А 3 (табл. 3).

За правилом максимакс альтернативу знаходимо за формулою:

. (5)

Скориставшись цим правилом, визначаємо максимальні значення для кожного рядка та вибираємо найбільше з них.

За правилом максимакс оптимальним буде альтернативне рішення А 3 (табл. 4).

Таблиця 4

Вибір оптимального рішення за правилом максИмакс

Варіант рішення	Варіант стану середовища	max j { V (Ai, Sj)}	max i mах j { V (Ai, Sj)}
S 1	S 2	S 3
А 1	2,5	3,5	4,0	4,0
А 2	1,5	2,0	3,5	3,5
А 3	3,0	8,0	2,5	8,0	А 3*
А 4	7,5	1,5	3,5	7,5

Критерій Вальда вважається найобережнішим із критеріїв. Оптимальне альтернативне рішення за цим критерієм знаходимо за формулами:

для ; (6)

для . (7)

Таблиця 5

ВИБІР ОПТИМАЛЬНОГО РІШЕННЯ ЗА КРИТЕРІЄМ ВАЛЬДА

Варіант рішення	Варіанти станів середовища	mіn j { V (Ai, Sj)}	max i mіn j { V (Ai, Sj)}
S 1	S 2	S 3
А 1	2,5	3,5	4,0	2,5	А 1
А 2	1,5	2,0	3,5	1,5
А 3	3,0	8,0	2,5	2,5	А 3
А 4	7,5	1,5	3,5	1,5

За критерієм Вальда оптимальними будуть альтернативні рішення А1 і А3, які вважаються еквівалентними, тобто мають однакові переваги для виконання.

Для того щоб застосувати критерій Севіджа, потрібно побудувати матрицю ризику як лінійне перетворення функціоналу оцінювання.

Для побудови матриці ризику використаємо такі формули:

для (8)

для (9)

Матрицю ризику побудуємо в табл. 6.

Таблиця 6

Побудова матриці ризику

Варіант рішення	Матриця прибут­ків (V (Ai, Sj))	Матриця ризику (Rij)
Варіанти станів середовища	Варіанти станів середовища
S 1	S 2	S 3	S 1	S 2	S 3
А 1	2,5	3,5	4,0	7,5 – 2,5 = 5,0	8,0 – 3,5 = 4,5	4,0 – 4,0 = 0
А 2	1,5	2,0	3,5	7,5 – 1,5 = 6,0	8,0 – 2,0 = 6,0	4,0 – 3,5 = 0,5
А 3	3,0	8,0	2,5	7,5 – 3,0 = 4,5	8,0 – 8,0 = 0	4,0 – 2,5 = 1,5
А 4	7,5	1,5	3,5	7,5 – 7,5 = 0	8,0 – 1,5 = 6,5	4,0 – 3,5 = 0,5

Тепер можна застосувати критерій Севіджа до матриці ризику за формулою:

. (10)

Таблиця 7

Вибір оптимального рішення за критерієм Севіджа

Варіант рішення	Варіант стану середовища	max j { Rij }	min i max j { Rij }
S 1	S 2	S 3
А 1	5,0	4,5		5,0
А 2	6,0	6,0	0,5	6,0
А 3	4,5		1,5	4,5	А 3
А 4		6,5	0,5	6,5

За критерієм Севіджа оптимальним буде альтернативне рішення А 3 (табл. 7).

За допомогою критерію Гурвіца встановимо баланс між випадками крайнього оптимізму ат випадками крайнього песимізму за допомогою коефіцієнта оптимізму a. Цей коефіцієнт визначається від нуля до одиниці та показує ступінь схильностей особи, що приймає рішення, до оптимізму чи песимізму. Якщо a = 1, то це свідчить про крайній оптимізм, якщо a = 0 — крайній песимізм. За умов задачі a = 0,6.

Оптимальну альтернативу за критерієм Гурвіца знаходимо за формулами:

для . (5.11)

для . (5.12)

Оптимальним рішенням за критерієм Гурвіца буде альтернативне рішення А 3 (табл. 8).

Таблиця 8

Вибір оптимального рішення за критерієм Гурвіца

Варіант рішення	Варіант стану середовища	max j { V (Ai, Sj)}	min j { V (Ai, Sj)}	a · max j { V (Ai, Sj)} + + (1 – a)min j { V (Ai, Sj)}	max i {a · max j { V ´´ (Ai, Sj)} + (1 – a) × × min j { V (Ai, Sj)}}
S 1	S 2	S 3
А 1	2,5	3,5	4,0	4,0	2,5	4,0 · 0,6 + 2,5 · 0,4 = 3,4
А 2	1,5	2,0	3,5	3,5	1,5	3,5 · 0,6 + 1,5 · 0,4 = 2,7
А 3	3,0	8,0	2,5	8,0	2,5	8,0 · 0,6 + 2,5 · 0,4 =5,8	А 3
А 4	7,5	1,5	3,5	7,5	1,5	7,5 · 0,6 + 1,5 · 0,4 = 5,1

 

Висновок: розрахунок за всіма даними критеріями довів доціль­ність виробництва продукції за альтернативним варіантом А 3.

5.3.2. Прийняття господарських рішень
у конфліктних ситуаціях

Ситуація конфлікту є невід’ємною складовою ринкового середовища, під час якої кожен із суб’єктів (конкурентів) намагається завдати збиток іншому та мінімізувати власні витрати. Конфлікт­ною називається ситуація, коли стикаються інтереси двох чи більше сторін, які мають суперечливі цілі, причому виграш кожної зі сторін залежить від того, як поводитимуться інші [31; 58]. Приклади конфліктних ситуацій: «бойові» дії, біржові угоди, різні види виробництва в умовах конкуренції, угоди на фондовому ринку, спортивні змагання, змагання, ігри. У житті конфлікт за-
вжди супроводжується ризиком.

Рішення в умовах конфлікту завжди пов’язані з ризиком, тому необхідним є обґрунтований підхід у виборі напряму подальших дій. Підприємець у процесі своїх дій повинен вибрати таку стратегію, що дасть змогу йому зменшити ступінь протидії, що, у свою чергу, знизить ступінь ризику.

Математичний апарат для вибору відповідного господарського рішення в конфліктній ситуації сформований у теорії ігор. Завдяки їй:

ü підприємець або менеджер краще розуміють конкретну обстановку, проблему в цілому та зводять до мінімуму ступінь ризику;

ü можна вирішувати багато економічних проблем, пов’я­заних з вибором, визначенням найкращого стану, підпорядкованого тільки деяким обмеженням, що випливають з умов самої проблеми;

ü підприємець (менеджер) спонукується розглядати всі можливі альтернативи як своїх дій, так і стратегії партнерів, конку-
рентів.

Мета теорії ігор — формування рекомендацій щодо оптималь­ної поведінки учасників конфлікту, тобто визначення оптимальної стратегії кожному з них. У теорії ігор розроблено систему власних понять [31]. Математична модель конфлікту називається грою, сторони у конфлікті — гравцями. Результат гри називається виграшем, програшем або нічиєю, правила гри — перелік прав і обов’язків гравців. Ходом називається вибір гравцем однієї з перед­бачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті та випадкові. Особистий хід — це свідомий вибір гравця, випадковий хід — вибір дії, що не залежить від його волі. Залежно від кількості мож­ливих ходів у грі ігри поділяються на скінченні та нескінченні. Скінченні — ті, котрі передбачають нескінченну кількість ходів, нескінченні — навпаки. Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченними, але мають так багато ходів, що належать до нескінченних (шахи).

Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанту дій у кожному особистому ході. Оптимальною стратегією гравця називається така, що забезпечує йому макси­мальний виграш. Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними. Ними теорія ігор не займається. Її ме-
та — оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими є особисті ходи (стратегічні ігри). Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю, тобто кожен виграє за рахунок інших. Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальне рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець. У грі грають два гравці, назвемо їх А і B. Себе прийнято ототожнювати з гравцем А. Нехай в А є m можливих стратегій: , а в супротивника B — n можливих стратегій: . Така гра називається грою . Позначимо через виграш гравця A за власної стратегії і стратегії супротивника . Зрозуміло, що можлива кількість таких ситуацій — .

Гра може мати нормальну (матричну) форму або розгорнуту (у вигляді дерева). Гру зручно відображати таблицею, що називається платіжною матрицею, або матрицею виграшів (табл. 5.2). Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у гравця B, і стільки рядків, скільки стратегій у гравця A. На перетині рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять виграші гравця A і, відповідно, програші гравця B.

Зведення гри до матричної форми саме по собі може бути важ­ким і навіть нездійсненним завданням унаслідок незнання стратегій, величезної їх кількість, а також через складність оцінювання виграшу. Ці приклади і мають на меті показати обмеженість даної теорії, тому що в усіх подібних випадках задача не може бути розв’язана методами теорії ігор.

Таблиця 5.2