Точечные и интервальные оценки

 

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности – оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть q₀, а на основе выборки объема n определяется оценка q.

Различают точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

 

Точечные оценки.

Точечной оценкой q параметра q₀ называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке, т.е. q₀ ≈ q .

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

1. Несмещенность оценок. Оценка q является несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру q₀ при любом объеме выборки, т.е. M(q) = q₀. Если это не так, то оценка называется смещенной.

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней , т.е. M() = .

Выборочная дисперсия σ² является смещенной оценкой генеральной дисперсии , т.е. M(σ²) ≠ .

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия):

, для которой .

2. Эффективность оценок. Несмещенная оценка q называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. minσ²(q).

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней , т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

3. Состоятельность оценок. Оценка q называется состоятельной, если при она стремится по вероятности к оцениваемому параметру q₀, т.е.

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

Выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней

Теорема. Выборочные , w являются несмещенными, эффективными и состоятельными оценками генеральных , р.

В теории вероятности было показано, что , .

Величины , называются средними ошибками выборки.

Если при определении неизвестна генеральная дисперсия , то ее заменяют выборочной дисперсией σ², а при определении , когда неизвестна генеральная доля р, ее заменяют выборочной долей w.

Сведем рассмотренные формулы в таблицу.

 

Параметр	Оценка	Средняя ошибка выборки
Р

 

Точечная оценка параметров , р есть: ≈ , р ≈ w.

Пример. Выборочно обследовали партию кирпича, поступивших на стройку. Из 100 проб в 12 случаях кирпич оказался бракованным. Найти оценку w доли бракованного кирпича и среднюю ошибку выборки σ_w.

▼ По условию n = 100, m = 12, тогда

; .

Пример. Из партии деталей отобрано 200, распределение которых по размеру задано в таблице. Найти выборочную среднюю и среднюю ошибку выборки .

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в расчетной таблице

 

Исходные данные	Расчетные показатели
Интервалы	Частоты,	середина,
6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16
Итого
Среднее			10,7	118,6

Окончательно имеем ;

, .

 

Интервальные оценки.

Пусть выборочная характеристика q служит оценкой неизвестного параметра q₀. Наряду с точечными оценками параметров (в виде одного числа) рассматривают интервальные оценки (в виде двух чисел – концов интервала).

Интервальной называют оценку, определяющую числовой интервал

(q – Δ; q + Δ), Δ > 0, содержащий оцениваемый параметр q₀, т.е.

q – Δ < q₀ < q + Δ, или | q - q₀ | < Δ.

Доверительным интервалом называется интервал | q - q₀ | < Δ, в котором с заданной вероятностью g заключен неизвестный параметр q₀, а сама вероятность g называется доверительной вероятностью, т.е.

P (| q - q₀ | < Δ) = g

Доверительный интервал (q – Δ; q + Δ) покрывает неизвестный параметр q₀ с заданной вероятностью g.

Величина Δ в статистике называется предельной ошибкой выборки и показывает наибольшее отклонение выборочной средней (доли) от генеральной средней (доли), которая возможна с заданной вероятностью g.

Уровнем значимости a называется вероятность P (| q - q₀ | ≥ Δ) = a, причем a = 1 - g.