Элементы математической статистики.

Вариационные ряды и их характеристик.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака.

Признак – характеристика объекта, рассматриваемая как случайная величина.

Совокупность – множество объектов, объединенных по определенному признаку.

Признак любой совокупности при наблюдении принимает ряд значений, число которых конечно.

Обозначим признак совокупности через Х (случайная величина), а его значения при наблюдении через х₁, х₂,…, х_n (числа). Числа х₁, х₂,…, х_n образуют несгруппированные данные.

Объемом совокупности (n) называется число объектов совокупности.

Пример 1. В магазине за день было продано 20 пар мужской обуви. Случайная величина Х (размер обуви) приняла следующие значения

36 38 37 41 37 41 38 42 39 40

38 42 39 42 39 40 40 39 40 39

Исходные данные из n = 20 наблюдений представляют собой несгруппированные данные. Произведем группировку исходных данных.

Группировка состоит в объединении данных с одинаковыми или близкими значениями признака в группы и подсчете частоты каждой группы.

Для осуществления группировки ранжируем исходные данные, т.е. расположим их в возрастающем порядке. В результате получим следующий ранжированный ряд: 36 37 37 38 38 38 39 39 39 39 39 40 40 40 40 41 41 42 42 42. Некоторые данные принимают одни и те же значения, причем одни значения встречаются чаще, другие реже.

Вариантами x_i называются различные значения признака, встречающие в совокупности.

Частотой варианты x_i называется число m_i, показывающее, сколько раз эта варианта встречается в совокупности., причем Σ m_i = n.

Частостью (относительной частотой, долей) варианты называется отношение частоты варианты к объему совокупности, т.е.

, причем Σw _i = 1.

В рассматриваемом примере:

- варианты x_i: 36 37 38 39 40 41 42;

- частоты m_i: 1 2 3 5 4 2 3;

- частости w _i: 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,10 0,15.

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

Вариационный ряд называется дискретным, если его варианты принимают конкретные изолированные значения, и – интервальным, если его варианты принимают любые значения из некоторого числового промежутка.

Общий вид дискретного вариационного ряда

 

варианты	x1	x2	…	xк
частоты	m1	m2	…	mк

 

Таким образом, дискретный вариационный ряд состоит из двух элементов: варианты и частоты (частости).

При изучении вариационных рядов используются также понятие накопленной частоты. Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака Х < х. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений n называется накопленной частостью .

Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный, т.е

.

Представим сгруппированные данные рассматриваемого примера в виде таблицы

 

Варианты	Частота	частость	накопленные
		0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,10 0,15		0,05 0,15 0,30 0,55 0,75 0,85 1,00
Итого

 

Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется частость того, что признак (случайная величина Х) примет значение, меньше заданного х, т.е. F_n(x) = w(X < x) = .

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию.

Для рассматриваемого примера

Для графического изображения дискретного вариационного ряда используется полигон частот (частостей) и кумулятивная кривая.

Полигоном частот ( частостей) называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x_i, m_i), или (x_i, w_i), i = 1,2,…

Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломанную, соединяющую точки (x_i, ), или (x_i, ), i = 1,2,…

На рис. представлены графики полигона частот и кумуляты для рассматриваемого примера.

 

 

Интервальный ряд.

При построении интервального ряда произведем следующую группировку данных. Весь диапазон изменения признака в совокупности разбивают на равные интервалы шириной Δх, равной

,

где x_min, x_max – наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности, а к – число интервалов.

Число интервалов следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака. Рекомендуемое число интервалов определяется по формуле: k = 1 + 3,322lgn. Если окажется, что Δх - дробное число, то за длину интервала берут либо ближайшее целое число, либо ближайшую простую дробь.

За начало первого интервала рекомендуется брать величину

x_нач = x_min – Δх/2.

Конец последнего интервала должен удовлетворять условию

x_кон – Δх ≤ x_max < x_кон.

Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала величину Δх. Объединяют данные, попавшие в соответствующие интервалы группировки. Если значение признака находится на границе интервала, то его присоединяют к правому интервалу.

Частотой интервала называется число данных, попавших в соответствующий интервал. Частота интервала относится ко всему интервалу группировки.

Иногда интервальный вариационный ряд условно заменяют дискретным, В этом случае серединное значение i – го интервала принимают за вариант x_i, а соответствующую интервальную частоту m_i – за частоту этого варианта..

Пример 2. Массив данных представлен следующим ранжированным рядом

10 12 14 16 17 18 19 21 22 24

24 25 25 26 26 27 27 28 29 29

31 32 32 33 33 34 34 35 36 37

38 39 39 40 41 42 43 44 45 47

Случайная величина Х приняла n = 40 значений, причем x_min = 10,

x_max = 47. Произведем группировку исходных данных. . Примем Δх = 6. За начало первого интервала возьмем x_нач = 10 – 3 = 7, тогда получим следующие интервалы: [7; 13), [13; 19),…, [43; 49). Подсчитываем число данных, попавших в каждый интервал группировки (частоту). Результаты группировки представим в таблице

 

Интервал	частота	частость	накопленные
7 – 13 13 – 19 19 – 25 25 – 31 31 – 37 37 – 43 43 - 48		0,05 0,10 0,125 0,25 0,20 0,175 0,10		0,05 0,15 0,275 0,525 0,725 0,9 1,0
Итого		1,0

 

Для графического изображения интервального вариационного ряда используются гистограмма и кумулятивная кривая.

Гистограмма имеет ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными ширине интервала Δх и высотами, равными частоте m_i соответствующего интервала.

При построении кумуляты интервального ряда по оси абсцисс откладываются интервалы ряда, а по оси ординат – накопленные частости. При этом необходимо помнить, что накопленная частость интервала группировки относится к верхней границе интервала.

График эмпирической функции распределения F_n(x) интервального вариационного ряда совпадает с кумулятой. На рис. представлены графики гистограммы и кумуляты

 

 

 

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализации) распределения признака (случайной величины Х). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения f(x), а эмпирическая функция распределения – функции распределения F(x) случайной величины Х.

 

Числовые характеристики вариационного ряда.

 

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие им частоты, деленная на cуvму частот, т.е.

,

где x_i – варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда, m_i – соответствующие им частоты, n – объем ряда.

Среднее арифметическое вариационного ряда характеризует значение признака, вокруг которого концентрируются наблюдения.

Дисперсией σ² вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической, т.е.

.

Дисперсия вариационного ряда определяет меру рассеяния признака в совокупности относительно средней арифметической.

Формулу для расчета дисперсии можно преобразовать к виду

, где .

Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

.

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина в совокупности относительно средней арифметической.

Пример. Вычислить по данным примера 1.

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в виде расчетной таблицы.

 

Исходные данные	Расчетные показатели
Варианты,	Частоты,
Итого
Среднее		39,35	1551,25

 

Окончательно имеем ;

, .

Пример. Вычислить по данным примера 2.

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в виде расчетной таблицы.

 

Исходные данные	Расчетные показатели
Интервалы	Частоты,	середина,
7 – 13 13 – 19 19 – 25 25 – 31 31 – 37 37 – 43 43 - 48
Итого
Среднее			30,25

 

Окончательно имеем ;

, .