Гипотеза о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

где S – исправленное стандартное отклонение в выборке.

Величина t имеет распределение Стьюдента с ν = n – 1 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Критическую точку t _кр находят по таблице распределения Стьюдента из условия:

Если | t_наб | < t _кр, то H₀ принимается, если | t_наб | > t _кр, то H₀ отклоняется.

Замечание. В Excel имеется функция

Пример. По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя = 18,2 и исправленное стандартное отклонение S = 3,6. Требуется по уровню значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H₀: = 120 при конкурирующей гипотезе:

а) H₁: ≠ 120; б) H₁: < 120.

▼ Найдем наблюдаемое значение критерия

.

а) По условию H₁: ≠ 120, поэтому критическая область – двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t _кр = t _кр (1 – α; ν) = t _кр (0,95; 15) = 2,13.

Поскольку | t_наб | = 2 < t _кр= 2,13,то H₀ принимается, т.е. выборочная средняя = 118,2 незначимо отличается от предполагаемой а = 120 генеральной средней.

б) По условию H₁: < 120, поэтому критическая область – односторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t _кр = t _кр (1 – 2α; ν) = t _кр (0,9; 15) = 1,75.

Поскольку | t_наб | = 2 > t _кр= 1,75,то H₀ отклоняется, т.е. различия между выборочной и предполагаемой средними - значимое.

Пример. Производитель утверждает, что средний вес пачки чая не меньше 100 г. Инспектор отобрал 10 пачек чая и взвесил. Их вес оказался равным 97 102 103 98 96 105 98 100 101 98. При заданном уровне значимости 0,01 проверить утверждение производителя.

▼ Гипотезы

Найдем выборочные , S.

; ; .

Найдем наблюдаемые значения критерия

По условию H₁: < 100, поэтому критическая область – односторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t _кр = t _кр (1 – 2α; ν) = t _кр (0,98; 9) = 2,82.

Поскольку | t_наб | = 0,111 < t _кр= 2,82,то H₀ принимается, т.е. утверждение производителя справедливо.

 

Гипотеза о неизвестной частоты появления события.

Пусть по достаточному большому числу n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянно, но неизвестна, найдена относительная частота w = m/n.

Пусть имеется основание предполагать, что неизвестная вероятность равна р₀. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, что неизвестная вероятность р равна предполагаемой вероятности р₀, т.е. Н₀: р = р₀.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

, где .

Величина z при справедливости нулевой гипотезы приближенно нормально. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Пример. Партия изделий принимается, если доля брака составляет менее 2%. Среди случайно отобранных 500 изделий оказалось 13 бракованных. Следует ли на уровне значимости 0,05 принять партию.

▼ По условию n = 500, m = 13, р₀ = 0,02, α = 0,05.

Гипотезы .

Относительная частота (частость) составляет .

Найдем наблюдаемое значение критерия

.

По условию H₁: р < 0,02, поэтому критическая область – односторонняя. По таблице функции Лапласа найдем критическую точку z_кр = z_кр (1 - 2α) = z_кр (0,9) = 1,65.

Поскольку | z_наб | = 0,96 < z_кр= 1,65,то H₀ принимается, т.е. партия изделий принимается.

Пример. Торговец утверждает, что он получает заказы в среднем от 30% предполагаемых клиентов. Можно ли при 5% - ом уровне значимости считать, что утверждение верно, если он получил заказы от 20 из 100 клиентов.

▼ По условию n = 100, m = 20, р₀ = 0,3, α = 0,05.

Гипотезы .

Относительная частота (частость) составляет .

Найдем наблюдаемое значение критерия

.

По условию H₁: р ≠ 0,3, поэтому критическая область – двусторонняя. По таблице функции Лапласа найдем критическую точку z_кр = z_кр (1 - α) = z_кр (0,95) = 1,96.

Поскольку | z_наб | = 2,18 > z_кр= 1,96,то H₀ отклоняется, т.е. утверждение торговца неверно.

 

Гипотеза о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Пусть по данным выборки объема n получен выборочный коэффициент корреляции r ≠ 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции ρ.

Выдвигаются гипотезы .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

,

которая имеет распределение Стьюдента с ν = n – 2 степенями свободы.

Поскольку Н₁: ρ ≠ 0, то критическая область – двусторонняя.

Критические точки определяются по таблице распределения Стьюдента из условия: t _кр= t _кр(1 – α; ν). Если | t_наб | < t _кр, то H₀ принимается, т.е. r незначим, если | t_наб | > t _кр, то H₀ отклоняется, т.е. r значим.

Пример. Пусть по выборке объема n = 122, извлеченной из нормальной совокупности, получен выборочный коэффициент корреляции r = 0,4. При уровне значимости 0,05 установить значимость выборочного коэффициента корреляции.

▼ Найдем наблюдаемое значение критерия

.

 

Критическую точку определяются по таблице распределения Стьюдента из условия: t _кр= t _кр(1 – α; ν) = t _кр( 0,95;120 ) = 1,98.

Поскольку| t_наб | = 4,78 > t _кр= 1,98, то H₀ отклоняется, т.е. выборочный коэффициент корреляции r = 0,4значимо отличается от нуля.

 

Гипотеза о неизвестной генеральной дисперсии.

 

Пусть из генеральной совокупности, распределенной нормально, извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S². Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, что неизвестная генеральная дисперсия равна предполагаемому значению , т.е Н₀: М (S²) = .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину (хи – квадрат):

,

которая имеет распределение хи – квадрат с ν = n – 1 степенями свободы.

Распределение хи – квадрат не симметричное. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

В случае Н₁: М (S²) < строят левостороннюю критическую область.

По таблице критических точек распределения хи – квадрат находят левую критическую точку .

Если < , то H₀ отвергается, если > , то H₀ принимается.

В случае Н₁: М (S²) > строят правостороннюю критическую область.

По таблице критических точек распределения хи – квадрат находят правую критическую точку .

Если < , то H₀ принимается, если > , то H₀ отвергается.

В случае Н₁: М (S²) ≠ строят двустороннюю критическую область.

По таблице критических точек распределения хи – квадрат находят левую критическую точку и правую .

Если < < , то H₀ принимается, иначе отвергается.

Замечание. В Excel имеется функция

= ХИ2ОБР(1 – α; ν) для левосторонней критической области;

= ХИ2ОБР(α; ν) для правосторонней критической области,

а для двусторонней критической области:

= ХИ2ОБР(1 – α/2; ν), = ХИ2ОБР(α/2; ν).

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлекается выборка объема n = 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² =10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить гипотезу

Н₀: М (S²) = 12 при конкурирующей гипотезе: а) Н₁: М (S²) ≠ 12;

б) Н₁: М (S²) > 12.

▼ Найдем наблюдаемое значение критерия

.

а) Поскольку Н₁: М (S²) ≠ 12, то критическая область двусторонняя.

По таблице критических точек распределения хи – квадрат найдем , .

Поскольку = 3,57 < = 10,3 < = 26,2, то H₀ принимается, т.е. исправленная выборочная дисперсия S² =10,3 незначимо отличается от предполагаемой генеральной дисперсии = 12.

б) Поскольку Н₁: М (S²) > 12, то имеем правостороннюю критическую область.

По таблице критических точек распределения хи – квадрат найдем правую критическую точку .

Поскольку = 10,3< = 24,1, то H₀ принимается.

 

Критерий согласия Пирсона.

Критерий согласия – это критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть требуется проверить гипотезу, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, т.е. Х ~ N().

На основании выборки x₁, x₂,…,x_n объема n эту гипотезу надо принять или опровергнуть при заданном уровне значимости.

Разобьем весь интервал наблюдаемых значений Х на к – равных интервалов, а в качестве эмпирической частоты m_i принимаем число значений случайной величины Х, попавших в i –ый интервал.

В результате получим следующий ряд распределения

 

Варианты			…		Итого
Эмпирич. чаcтоты			…
Теоретич. частоты			…

 

Вычисляем выборочные среднюю и дисперсию .

Неизвестные параметры () нормального распределения заменяем эмпирическими (, ). При данном законе распределения существует вероятность, что случайная величина Х в i –ом интервале примет значение

.

Поскольку объем выборочной совокупности равен n, то теоретическая частота соответствующего интервала определяется как .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

,

где - эмпирические и теоретические частоты в i –ом интервале; к – число интервалов. Этот критерий согласия был предложен Пирсоном.

Наблюдаемое значение критерия сравнивается с критическим , определяемое по таблице при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы ν = k – r – 1, где r – число параметров распределения, к – число интервалов.

Если < , тогипотеза о нормальности принимается, если > , тогипотеза о нормальностиотвергается.

Пример. По данным распределения объема товарооборота магазинов района проверить гипотезу о нормальности распределения.

▼ Случайная величина Х – объемы товарооборота магазинов. Исходные данные и расчетные показатели представим в расчетной таблице.

 

Исходные данные	Расчетные показатели
Интервалы	Частоты,	середина,
1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 - 11
Итого
Среднее				29,58

 

Окончательно имеем ;

, .

Полагаем . Теоретические частоты в i –ом интервале определяются из выражения: , где

,

причем полагают α₁ = - ∞, β_к = ∞.

Результаты расчета представим в таблице

 

Границы
αi	βi
			-∞ -0,92 0,92 1,82	-0,92 0,92 1,82 ∞	-1,00 -0,6424 0,00 0,6424 0,9357	-0,6424 0,00 0,6424 0,9357 1,00	0,1788 0,3212 0,3212 0,1460 0,0321
Итого						1,00

 

Сравним эмпирические и теоретические частоты

		0,44 0,56 0,25 0,14 0,00
Итого	1,40

 

Получили = 1,40. Число степеней свободы ν = 5 – 2 – 1 = 2.

По таблице .

Поскольку = 1,4< = 5,99, тогипотеза о нормальности принимается, т.е. объемы товарооборота магазинов района распределены нормально.