Закон распределения вероятностей дискретной

двумерной случайной величины.

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины называется перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей p_ij = P(X = x_i;Y = y_j), (i = 1,n; j = 1,m).

Обычно закон распределения дискретной случайной величины задают в виде таблицы

X	Y	Σ
y1	y2	…	ym
x1 x2 … xn	p11 p21 …. pn1	p12 p22 …. pn2	… … … …	p1m p2m …. pnm	p1 p2 …. pn
Σ	q1	q2	…	qm

 

Поскольку события (X = x_i;Y = y_j) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице, т.е.

.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти закон распределения каждой из составляющих.

Действительно, по теореме сложения для несовместных событий можно записать

Таким образом, суммируя элементы вероятности p_ij таблицы по строкам, получим распределения случайной величины Х, а по столбцам - величины У.

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения

 

Х	У
	0,17 0,13 0,25	0,10 0,30 0,05

 

▼ Сложив вероятности по строкам, получим закон распределения составляющей Х, а по столбцам – составляющей У, т.е.

 

Функция распределения двумерной случайной величины.

 

Рассмотрим двумерную (дискретную или непрерывную) случайную величину (Х,У). Пусть х, у – пара действительных чисел.

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,У) называется функция F(x,y), определяющая для каждой пары чисел х, у вероятность того, что Х примет значение меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у, т.е.

F(x,y) = P(X < x; Y < y).

Геометрически функция распределения F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (Х,У) попадет в бесконечный квадрант, лежащей левее и ниже точки (х,у).

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения F(x,y) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ F(x,y) ≤ 1.

2. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.

если x₂ > x₁, то F(x₂, y) ≥ F(x₁, y)

если y₂ > y₁, то F(x, y₂) ≥ F(x, y₁).

3. Имеют место предельные соотношения:

F(-∞, y) = 0; F(x, -∞),

F(-∞, -∞) = 0; F(∞,∞) = 1.

4. , где F(x), F(y) – функции распределения составляющих Х, У.

 

Непрерывные двумерные случайные величины.

Непрерывной называется двумерная случайная величина (Х,У), если ее функция распределения F(x,y) непрерывна по обоим аргументам и существует вторая смешанная производная .

Плотностью распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (Х,У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е. f(x,y) = .

Зная плотность распределения f(x,y) можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле

.

Вероятность попадания случайной точки в область D равна

.

Свойства плотности распределения.

1. f(x,y) ≥ 0;

2.

Если задана плотность f(x,y) двумерного распределения, то можно определить плотности распределения каждой составляющей Х, У:

.