Доверительный интервал для генеральной средней при неизвестной

генеральной дисперсии (малая выборка).

 

Пусть генеральная совокупность подчиняется нормальному распределению с неизвестной дисперсией. Под малой выборкой понимается обследование, при которой объем выборки n ≤ 30.

Средняя ошибка малой выборки есть

, где - исправленная дисперсия.

Предельная ошибка малой выборки есть , где t определяется по таблице распределения Стьюдента при заданной вероятности g ( или уровне значимости α = 1 - g) и числу степеней свободы ν = n – 1.

Доверительный интервал для генеральной средней есть

– Δ < < + Δ.

Пример. При контрольной проверке качества поставляемой в торговлю колбасы получили следующие данные по содержанию соли, %:

9 8 4 9 3 5 11 13 6 5

По данным выборочного обследования установить с вероятностью 0,95 доверительный интервал, в котором находится средний процент содержания соли по всей партии товара.

▼ По условию n = 10 < 30 – малая выборка. Исходные данные и расчетные показатели представим в расчетной таблице.

 

Исходные данные	Расчетные показатели
Содержание соли, %,	Частоты,		(
			18,49 10,89 10,58 1,69 0,49 5,78 13,69 32,49
Итого			94,1
Среднее		7,3

 

Окончательно имеем

- выборочная средняя;

- исправленная дисперсия:

- средняя ошибка малой выборки.

По заданной вероятности g = 0,95 (или уровне значимости α = 0,05 ) и числу степеней свободы ν = 9 по таблице распределения Стьюдента находим t = 2,26.

Предельная ошибка малой выборки есть = 2,26∙1,02 = 2,3.

Доверительный интервал для генеральной средней есть 7,3 – 2,3 < < 7,3 + 2,3 или 5,0 < < 9,6; т.е. с вероятностью 0,95 средний процент содержания соли во всей партии заключен в границах от 5% до 9,6%.

 

Выборочные ковариация и коэффициент корреляции.

 

Выборочной ковариацией двух переменных x, y называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т.е

, или

где – выборочные средние переменных x, y .

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции определяется выражением:

 

,

где σ_x, σ_y – стандартные отклонения переменных х, у.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, изменяющийся в пределах -1 ≤ r ≤ 1 и показывает степень линейной связи двух величин.

Выборочный коэффициент корреляции r является случайной величиной, а истинным является соответствующий коэффициент корреляции ρ генеральной совокупности.

Если ρ = 0 для генеральной совокупности, то это необязательно означает, что r = 0 для выборочной совокупности. Поэтому требуется проверка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.

Пример. По 10 туристическим фирмам были установлены затраты на рекламу (х) и количеством туристов (у), воспользовавшихся услугами фирм, усл. ед. Определить ковариацию и коэффициент корреляции между величинами х, у и сделать вывод.

▼ Представим исходные данные и расчетные показатели в расчетной таблице.

Исходные данные	Расчетные показатели
Номер фирмы	х	у	х^2	у^2	ху
Итого
Среднее					124,8

 

Окончательно имеем

- выборочные средние: , ;

- промежуточные показатели: , , ,

- дисперсии и стандартные отклонения х, у:

, ;

, . Тогда

, т.е. между затратами на рекламу и числом туристов имеется положительная линейная зависимость. Это означает, что при увеличении затрат на рекламу число туристов в среднем увеличивается.

 

Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой H называется предположение относительно параметра или вида распределения случайной величины.

Нулевой гипотезой H₀ называют выдвигаемую гипотезу. Обычно считают, что H₀ - гипотеза об отсутствии различий.

Конкурирующей гипотезойH₁ называют гипотезу, которая противоречит нулевой. Таким образом, гипотеза H₁ – гипотеза о значимости различий.

Проверку статистической гипотезы выполняют на основании результатов выборки. Поскольку выборка имеет ограниченный объем, то появляется возможность принятия ошибочного решения.

Уровнем значимости a называется вероятность того, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, т.е. .

Уровень значимости a устанавливается заранее.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. В качестве статистического критерия выбирается такая случайная величина, например t, точное или приближенное распределение которой известно.

Множество возможных значений критерия разбивают на две непересекающиеся области: критическая область и область принятия гипотезы.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Наблюдаемым значением t_{наб .} называют значение критерия, вычисленное по данным выборки.

Принцип проверки гипотезы следующий: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу H₀ отклоняют, а если принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу H₀ принимают.

Практически, для проверки гипотезы используют критические точки, вычисляемые по известному распределению критерия.

Критическими точками t_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Р азличают одностороннюю (левостороннюю и правостороннюю) и двустороннюю критические области.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Замечание. Если в качестве критерия проверки нулевой гипотезы используется случайная величина, подчиненная нормальному распределению, то ее обозначают через z, подчиненная распределению Стьюдента - через t (t- статистика), подчиненная распределению Фишера – через F (F- статистика), а подчиненная распределению хи – квадрат – через χ².