Гипотеза о равенстве средних с неизвестными дисперсиями 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Гипотеза о равенстве средних с неизвестными дисперсиями



(зависимые выборки).

 

К зависимым выборкам относятся, например, результаты наблюдения над одной и той же группой объектов до и после воздействия независимым фактором. Такие наблюдения называются парными.

Пусть генеральные совокупности Х,У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется на заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е.

H0: M() = М().

Сведем данную задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с предполагаемым значением генеральной средней.

С этой введем в рассмотренные случайную величину – разности

di = xi – yi и их среднюю .

Таким образом, нулевую гипотезу можно записать H0: .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

, где .

Величина t при справедливости нулевой гипотезы имеет t- распределение Стьюдента с ν = n -1 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Пример. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены 5 деталей и были получены результаты. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу H0: M() = М()при конкурирующей гипотезе: а) M() ≠ М();

б) M() < М().

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в расчетной таблице.

Исходные данные Расчетные показатели
N x у
      -1 -2 -1 0,16 0,56 0,36 1,96 0,16
Итого     -3 5,2
Среднее 6,6 7,2 -0,6  

 

Окончательно имеем

- выборочное среднее ;

- выборочное исправленная дисперсия ; .

Наблюдаемое значение критерия

.

Число степеней свободы ν =4.

а) Критическая область двусторонняя. По таблице распределения Стьюдента находим критическую точку t кр= t кр(1 – α; ν) = t кр( 0,95; 4 ) = 2,78. Поскольку | tнаб | = 1,18 < t кр= 2,78,то H0 принимается.,

б) Критическая область – односторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t кр = t кр (1 – 2α; ν) = t кр (0,9; 4) = 2,13.

Поскольку | tнаб | = 1,18 < t кр= 2,13,то H0 принимается.

 

Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормальных

Генеральных совокупностей.

Пусть генеральные совокупности Х, У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n1, n2, извлеченных из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии , . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину

.

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера со степенями свободы ν1 = n1 1, ν2 = n2 1, где n1 – объем выборки с большей исправленной дисперсией, n2 – объем выборки с меньшей исправленной дисперсией.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

По таблице критических точек распределения Фишера находят критическую точку из условий:

Если Fнаб < F кр, то H0 принимается, если F наб > F кр, то H0 отклоняется.

Замечание. В Excel имеется функция

Fкр = FРАСПОБР(α; ν1; ν2) для односторонней критической области;

Fкр = FРАСПОБР(α/2; ν1; ν2) для двусторонней критической области.

Пример. По выборочным данным о расходах сырья при производстве продукции по старой и новой технологии получены выборочные исправленные дисперсии , (nx = 9) и , (nу = 13).

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать статистически значимым различие между исправленными дисперсиями..

▼ За большую дисперсию принимаем , n1= 13; заменьшую - , n2 = 9.

Наблюдаемое значение критерия

.

Число степеней свободы ν1 = n1 1= 12, ν2 = n2 1=8.

Для односторонней критической области Fкр = Fкр(α; ν1; ν2) =

Fкр( 0,05; 12; 8 ) = 3,28. Поскольку Fнаб = 1,36 < F кр = 3,28, то H0 принимается, т.е. выборочные исправленные дисперсии не различаются.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 320; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.89.56.228 (0.021 с.)