Розподілення (середнього значення).

Незважаючи на те, що дисперсія дозволяє вимірювати ризик фінансових

Операцій, її використання практично ускладнюється у наслідок її розмірності,

Що дорівнює квадрату одиниці вимірювання випадкової величини.

На практиці більш наглідно використовувати результати аналізу, що

Дозволяють вимірювати розкид випадкової величини у тих же одиницях

Вимірювання, що і сама випадкова величина. Для цих цілей використовують

Стандартне (середньоквадратичне) відхілення.

Стандартне (середньоквадратичне) відхилення (standard deviation, mean

deviation squared) (X) визначають як корінь квадратний з дисперсії за

формулою:

() ().

I n

i

I i

I n

i

X i i VAR X p x E X p x X

Із формули випливає, що середньоквадратичне відхилення являє собою

Середньозважене відхилення випадкової величини від її математичного

Сподівання, а в якості ваги беруться відповідні вірогідності. Будучи в

Однакових одиницях вим ірювання, що і випадкова величина,

Середньоквадратичне відхилення показує, наскільки значення випадкової

Величини може відрізнятися від її середнього.

Дисперсія (variance - VAR) – визначається як сума

Квадратів відхілень випадкової величини від її середнього

значення, зважених на відповідні вірогідності:

VAR(X) p x E X p x X i

I n

i

I i

I n

i

i

n – кількість випадків спостережень (частота).

Чим менше стандартне відхилення, тим вужче діапазон вірогідністного

Розподілу і тим нижчий ризик, пов'язаний із здійсненням даної господарської

Операції.

В теорії і практиці фінансового менеджменту при оцінюванні ризиків

Широко застосовуться закон нормального розподілу ймовірностей.

Випадкова величина х має нормальний закон розподілу ймовірностей,

якщо її функція щильності ймовірностей має вигляд:

(x a)

e

F (x)

, х,

де а, 2 > 0 - параметри розподілу, якими визначається загальний

Нормальний закон.

а – середнє значення (Е(Х));

Дисперсія випадкової величини.

Тоді

F x e dt

X t a

().

()

2 2

Графіки f (x), F (x) для загального нормального закону залежні від

Параметрів а і зображені на графіках (1), (2), (3).

Графік, щільність ймовірностей має вигляд нормальної кривої (Гауса):

(1)

З графіку (1) бачимо, що графік f (x), який розміщений симетрично

відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку, = а. Зі зміною значень

параметра а крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо а <

Не змінюючи при цьому своєї форми.

(2)

Графік (2) F (x) є не спадною функцією, оскільки f(x) = F'(x) > 0 і, як буде

доведено далі, F(a) = 0,5.

Зі зміною значень параметра а крива F (x) зміщується праворуч для а > 0

або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.

Розглянемо зміну значень параметра при а = const: змінюється крутизна

кривих в околі значень = а, що унаочнюють графіках (3) та (4).

(3) (4)

У разі а = 0 й = 1, то нормальний закон називають нормованим. Тоді

щільність ймовірностей має такий вигляд:

x2

e

F (x)

, х,

А інтегральна функція розподілу

F x e dt

X t

()

.

Для нормованого нормального закону графіки f (x), F (x) зображені на

Графіку (5).

(5)

Загальний нормальний закон позначають: N (а;). Нормований

Нормальний закон позначають N (0; 1).

У цьому разі це буде функція Лапласа Ф(х):

E dx

(x)

x

x2

.

За допомогою Ф(х) можна обчислити ймовірність того, що випадкова

Величина (а, 2) прийме значення в проміжку (,).

Дійсно,

P e dx e dt

A a

X a t

a

a

{ }.

()

2 2

Отже, тоді зауважимо важливий наслідок цієї формули:

P{ a } P(a a) 2.

Якщо взяти 3, то незалежно від параметру а,

P{ a 3 } 2 3 0,9973.

Ця формула носить назву правила трьох сигм.

Ілюстрація правила трьох сигм наведена нижче:

Щільність розподілу

Ймовірностей

Крім того, в аналізі ризиків використовують коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації є відносною величиною, і змінюється у межах від 0 до

100%. Коефіцієнт варіації показує ступінь ризику на одиницю середнього

Доходу. Чим більший коефіцієнт варіації, тим більше ризик.