Лекции по ТОЭ/ №4 Классический метод расчета переходных процессов.

Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы.

Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x(t) неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

где,
х – искомая величина, например i или u;
a_k – постоянные коэффициенты;
F(t) – некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) x'(t) - полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) x"(t) - частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t= ∞:

x(t)=x'(t)+x"(t)

Вид частного решения x"(t) для t = ∞ определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммутационном режиме: x"(t)=x_y(t). В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

где
А1, А2,…, Аn – постоянные интегрирования;
p1, p2,…, pn – корни характеристического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х→1, dx/dt→p и т.д.:

Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электротехнике она получила название свободной: x'(t)=x_св(t).

Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x(t), а ее отдельные составляющие x_y(t) и x_св(t) являются расчетными величинами.

Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неоднородного дифференциального уравнения классическим методом математики, получил название классического.

Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следующих составных частей или этапов:

а) расчет установившейся составляющей x_y(t);
б) составление характеристического уравнения и определение его корней p1,…, pn;
в) определение постоянных интегрирования А1, А2,….

Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим методом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом решения неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы электротехники позволяют существенно упростить это решение.

Лекции по ТОЭ/ №5 Определение установившейся составляющей x_y(t).

Как известно, установившаяся составляющая искомой функции x_y(t), являясь частным решением неоднородного дифференциального уравнения при t=∞, соответствует значению искомой функции в установившемся после коммутации режиме. Определение этой составляющей математическим методом из решения дифференциального уравнения довольно сложно и трудоемко. Гораздо проще найти эту функцию инженерным методом путем расчета схемы цепи в установившемся режиме после коммутации, что и делают на практике.

Пример. Определить установившуюся составляющую для тока i_у в схеме рис. 58.1 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t)=150sinωt, f=50 Гц.

После коммутации ветвь с резистором R2 отключается и не оказывает влияния на режим остальной схемы.

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=Е=const ток в схеме протекать не может (сопротивление конденсатора постоянному току равно ∞), следовательно i_у(t)=0.

б) При переменной ЭДС источника e(t)=Е_msinωt расчет установившегося режима выполняется в комплексной форме для комплексных амплитуд функций. По закону Ома:

Вид установившейся составляющей соответствует виду источников энергии, которые действуют в схеме цепи.