Статистические гипотезы. Проверка гипотез. Критерий Пирсона.

В технике, экономике, технологии и других прикладных отраслях для принятия того или иного решения часто прибегают к результатам статистических наблюдений.

Статистическая гипотеза – всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы можно разделить на два основных класса:

гипотезы о законах распределения;

гипотезы о параметрах распределения.

Пример:

Гипотеза о том, что производительность труда рабочих выполняющих одинаковую работу имеет нормальный закон распределения, является гипотезой о законе распределения.

Высказывание о том, что средний рост студентов сидящих в аудитории равный некоторому числу есть гипотеза о параметрах распределения.

Сформулируем в общем, виде задачу статистической проверки гипотезы о параметрах распределения.

Пусть закон распределения случайной величины зависящий от одного параметра . Предположим, что нужно проверить гипотезу о том что . Назовем эту гипотезу нулевой и обозначим . Гипотезу о том, что назовем конкурирующей гипотезой и обозначим . Таким образом, перед нами стоит задача проверки гипотезы на основании выборки со случайной величиной X. Возможное множество выборок H можно разделить на два непересекающихся класса таких, что проверяемая гипотеза будет принята, если выборка принадлежит классу O и отвергнута, если выборка принадлежит классу W.

Множество допустимых значений – множество выборок O.

Критическая область – множество выборок W.

Так как оба множества не пересекаемые, то достаточно определить одно из этих множеств. При выборе критической области следует иметь в виду что, принимая или отвергая гипотезу, мы можем получить ошибки двух видов:

1. ошибка состоит в том, что нулевая гипотеза отвергается, т.е. принимается гипотеза, в то время как справедлива гипотеза ;

2. ошибка состоит в том, что принимается гипотеза, в то время как верна гипотеза .

Критерий проверки гипотезы (критерий согласия) - правило, по которому рассматриваема гипотеза, принимается или отвергается.

Критерий согласия представляет собой случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы по результатам выборки. Существует очень много критериев согласия. После выбора определенного из них множество его возможных значений разбивают на два подмножества: критическую область (те значения, при которых гипотезу отвергают) и область принятия (те значения, при которых гипотезу принимают).

Таким образом, вопрос свелся к отысканию критических точек критерия, т.е таких точек которые разделяют критическую область и область принятия. С этой целью задаются уровни значимости ( - достаточно малая вероятность). Затем ищут , исходя из требования чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение из критической области, была равна . Другими словами - уровень ошибки (вероятность ошибки). Обычно уровень значимости принимают равным:

Существует множество всевозможных критериев согласия Фишера, Смирнова и

т.д. Для этих критериев в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы построены таблицы критических значений.

Статистические гипотезы о виде распределения делятся на простые и сложные.

Простая статистическая гипотеза – гипотеза, распределенная однозначно.

Сложная статистическая гипотеза – гипотеза, распределенная не однозначно.

Пример:

Простая статистическая гипотеза случайной величины распределена по нормальному закону распределения ().

Сложная статистическая гипотеза случайной величины распределена по нормальному закону распределения с параметрами ).

Мы с вами для примера рассмотрим только один критерий согласия: критерий Пирсона или критерий

20.