Доверительные интервалы. Доверительная вероятность.

На практике часто требуется не только найти оценку параметра, но и оценить ее точность и надежность. Эта задача особенно актуальна при малом числе испытаний, когда замена параметра a его оценкой может привести к большим ошибкам. В математической статистике для определении точности и надежности оценки используют доверительные интервал и вероятность.

Пусть несмещенная оценка параметра a. Требуется оценить возможную ошибку. Пусть P – достаточно большая (близкая к 1) вероятность такая, что событие с вероятностью P можно считать практически достоверным (.

Данная вероятность – доверительная вероятность.

Найдем такое что . Тогда возможные ошибки будут находиться в диапазоне . А ошибки по абсолютной величине большие будут встречаться крайне редко с вероятностью 1-P. Последнее неравенство запишем в развернутом виде: . Это равенство означает, что с вероятностью P истинное значение параметра находится в интервале (доверительный интервал).

17.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном .

Пусть количественный признак X распределен по нормальному закону распределения, причем заранее известно . Нам требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней . Другими словами построить доверительный интервал для математического ожидания. Будем рассматривать оценки как значения случайной величины. будет изменяться от выборки к выборке. Доказано что математическое ожидание равно: . А , где n – объем выборки. Поскольку X имеет нормальное распределение то вероятность отклонения , где . И пусть задана доверительная вероятность . Из соотношения мы получаем что . По таблице значений функции Лапласа мы находим . И тогда из соотношения мы находим, что и искомый доверительный интервал будет:

Замечания:

из формулы для оценки точности следует, что с увеличением n число убывает и, следовательно, точность оценки возрастает;

если требуется оценить математическое ожидание с напередзаданной точностью и надежностью, то минимальный объем выборки: .

 

18.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном .

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону распределения. Нам нужно найти доверительный интервал с надежностью j для математического ожидания. Извлекаем выборку объема n. По этой выборке находим оценку математического ожидания и оценку среднеквадратического отклонения (несмещенного) . Тогда доверительный интервал имеет следующий вид:

где находится из соотношения по таблицам распределения Стьюдента. Здесь таблицы заданы по двум параметрам. В таблицу входит кроме j еще и n-число степеней свободы.

Замечание: из предельных соотношений показывается, что если то распределение Стьюдента стремиться к нормальному распределению. Поэтому когда n>30 то вместо распределения Стьюдента пользуются нормальным распределением, однако когда n<30, то замена распределения Стьюдента нормальным распределением может привести к значительным ошибкам.

19.

Схема применения критерия

Пусть у нас имеется гипотеза о том, что закон распределения нормальный.

делаем выборку из генеральной совокупности и по выборке составляем интервальный ряд, для чего находим интервальный ряд K;

по выборке находим оценки параметров ; записываем закон распределения (нормальный) с найденными оценками (в качестве параметров; по найденному закону распределения находим вероятности попадания в каждый интервал; вычисляем наблюдаемое

, где - частота попадания в I-ай интервал;

принимаем статистическое решение.

Гипотеза о том, что закон распределения нормальный не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости , если , где

(k – число степеней свободы, l – число параметров). Если же , то гипотеза отвергается. Для определения имеются специальные таблицы критических значений.