Элементы корреляционного анализа.

Во многих задачах приходится установить зависимость между двумя или несколькими случайными величинами. Эта зависимость может быть функциональной или статистической.

Функциональная зависимость – зависимость, при которой одному значению X ставится строго соответственное значение Y.

Статистическая зависимость – зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение и другой случайной величины.

Для определения статистической зависимости данные записывают в виде таблицы.

означает что .

означает, что наблюдалось раз

означает, что наблюдалось раз

Фактически первый и последний столбцы представляют собой ряд распределения

для составляющей X, а первая и последняя строки – ряд распределения для составляющей Y. По корреляционной таблице строят условную среднюю.

Условное среднее - среднее арифметическое значение случайной величины Y, когда X приняло значение x.

Таким образом, мы можем составить ряд условных распределений.

Совершенно аналогично мы можем составить условное распределение .

Корреляционная зависимость Y от X – зависимость условной средней

Корреляционная зависимость X от Y – зависимость условной средней

Уравнение - уравнение регрессии Y на X, а f(x) – регрессия Y на X.

Уравнение - уравнение регрессии X на Y, а – регрессия X на Y.

В теории корреляции рассматриваются две основные задачи:

1.установить вид корреляционной зависимости;

2.определить саму функциональную зависимость и ее тесноту.

Линейная корреляционная зависимость, если корреляционные зависимости и линейные функции.

Пусть у нас задано распределение условной средней . На плоскости наносим. По расположению точек мы определяем вид функциональной зависимости. Для простоты будем считать, что функциональная зависимость носит линейный характер, т.е

. Тогда в каждой из точек мы находим отклонение . Суммируем эти отклонения. Поскольку отклонения бывают разных знаков, то они будут друг друга уничтожать. Для учета отклонений мы будем брать их в квадрате.

. Параметры a и b мы будем выбирать из условия минимума суммы квадратов отклонений, т.е. по методу МНК. Для чего мы должны решить задачу на экстремум:

Дифференцировав функцию и приравняв к 0, мы получили следующую систему для определения параметров a и b.

Или преобразовав данную систему, мы можем записать:

Решая данную систему, мы получим:

-угловой коэффициент прямой регрессии Y на X/

И тогда уравнение линейной регрессии имеет вид:

Совершенно аналогично получается

Из уравнений и мы видим, что и имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком выражения.

Рассмотрим сейчас коэффициент корреляции, который был введен в теории вероятностей.

- первый смешанный момент

Мы знаем что . Откуда

Аналогично .

Тогда уравнение линейной регрессии имеет вид:

Из уравнения регрессии возникает следующее:

1. точка пересечения линий регрессии – ;

2. если r=0, то линейная зависимость отсутствует;

3.

Чем ближе к 1, тем теснее линейная зависимость. На практике считают, что если r>0.6, то между случайными величинам существует сильная линейная зависимость.

Замечание: если r=0, то линейная зависимость отсутствует, но может быть нелинейная корреляционная зависимость.

 

22.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАМИРОВАНИЕ