Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Для одномерной случайной величины числовые характеристики представляют собой начальный и центральный моменты, причем наиболее существенными из них являются и

Для двумерной случайной величины так же существуют начальный и центральный моменты.

Начальный момент порядка k, l -

Центральный момент порядка k, l - .

Запишем формулы для вычисления этих моментов. Если случайная величина дискретная , , а , то начальный момент

.

Центральный момент

Если же двумерная случайная величина непрерывна, то моменты вычисляются следующим образом:

Наиболее важными из этих моментов являются:

Особое место среди моментов играет смешанный второй центральный момент.

,

который обозначается и называется корреляционным моментом. Этот момент служит для характеристики зависимости между случайными величинами X и Y.

Теорема.

Если случайные величины X и Y независимы, то корреляционный момент равен 0.

Доказательство.

Замечание: обратное утверждение, что если корреляционный момент равен 0, то случайные величины независимы – неверно. Можно лишь утверждать, что между этими случайными величинами отсутствует линейная связь. Дело в том, что может быть и нелинейная связь. Часто вместо корреляционного момента рассматривают нормированную величину, так называемый коэффициент корреляции

.

Этот коэффициент удовлетворяет условию . Он точно также как и служит для характеристики зависимости случайных величин.

 

15.

Основные понятия МАТЕМАТИЧЕСКой СТАТИСТИКи

Математическая статистика – наука, занимающаяся установление закономерностей которым подчинены массовые однородные случайные явления.

Перед математической статистикой стоят две задачи:

правильно указать способы сбора информации;

правильно указать способы анализа и обработки информации.

Основные понятия математической статистики

Пусть требуется изучить совокупность N однородных объектов относительно некоторого признака. Можно поступить двояко: произвести сплошное обследование (обследовать каждый объект относительно этого признака) или мы можем взять некоторую

часть объектов, исследовать их и полученные результаты распространить на всю совокупность.

Выборка – обследуемые объекты.

Генеральная совокупность - вся совокупность объектов..

Объем выборки – число объектов в выборке.

Существуют разные виды выборки:

повторная, если объект после исследования возвращается в генеральную совокупность.

не повторная, если объект не возвращается в генеральную совокупность.

На практике, как правило, пользуются бесповторной выборкой. Выборка должна достаточно объективно отражать все особенности исследуемых объектов.

Способы отбора.

Простой случайный отбор – объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

Осуществить такой отбор можно пользуясь таблицами или датчиками случайных чисел.

Типический отбор – объекты отбирают не из всей генеральной совокупность, а из некоторой ее части.

Пример:

Изделия изготавливают на нескольких станках, а проверяют изделия с одного станка.

Серийный отбор – объекты отбирают из генеральной совокупности сериями (пачками).

Пример:

Выпускают лампочки и проверяют сразу ящик.

Статистический ряд.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, причем значение

наблюдалось раз, . Значения - варианты.

Обычно эти значения располагают в порядке возрастания и записывают в виде таблицы.

- значение вариантов

- частоты

- относительные частоты

Размах выборки – разность

Такой рая – статистический вариационный ряд.

Однако если объем выборки очень большой, то в этом случае вместо статистического ряда составляют интервальный статистический ряд. Для этого всю выборку разбивают на K интервалов при помощи формулы . Составляют интервалы:

- число – вариант X значений, которые попали в i-ый интервал.

Наряду с интервальным рядом пользуются расширенным интервальным рядом.