Неравноточные измерения. Веса измерений и их св-ва. Вес арифм. середины.

Если результаты измерений получены не в одинаковых условиях и им соответствуют различные дисперсии, а следовательно, и средние квадратические погрешности, то измерения называются неравноточными.

При обработке неравноточ. изм. вводят новую харак-ку точности- вес изм. Вес-степень точности результатов, ряда однородных изм., т.е. отвлеченное число показыв. доверие точности результатов. Р=К/σ², где К-произв. число, одно и тоже для всех весов участв. в изм., σ ²-дисперсия изм. В теории ошибок измерений понятие дисперсия заменяется величин. СКО Р=К/m².

Св-ва: 1Веса однородных изм. можно увелич. или уменьш. в одно и тоже число раз, их отношение при этом не изм. m=5,6,10; K=1,100,25; P=1/25,1/36,1/100.

2Веса 2-х изм. обратнопропорц. квадратам их СКО. Р₁=К/m²₁, Р₂=К/m²₂, Р₁/Р₂=m²₂/m²₁.

Вес арифм. середины. Пусть произведено n однородных измерений и изм. сопровожд. ош. m, тогда вес 1 изм. Р=К/m²_l, а вес вероятнейшего знач. Р_U=K/M², M²=m_l/√n. Воспользуемся 2 св-ом весов P_U/P=m_l²/(m_l/√n)²,Р=1, Р=n. Если вес одного принять за 1, то вес вероятнейшего знач. будет= n

Вес дир. угла n-ой стороны теодолитного хода.

α_п=α_пр+180°n-ß₁-ß₂-ß₃-…-ß_n.

Ошибка этой функции mα=mß√n.

mß-ошибка измерения любого угла

от ско перейдем к весу

Р=К/m²_α

Р=К/m²_β*√n т.к измерения однородны mß- одинакова для всех измерений

Соотношение К/m_β- одинаково для этих условий измерений

P=C/n при одинаковых условиях измерений вес зависит от числа измерений обратнопропорционально.

Вес суммы превышений нивелирного хода. Вывод формулы.

Известно что суммарное превышение нивелирного хода при геометрич. нивелировании составляет его невязку если ход замкнутый.

∑h=h₁+h₂+…+h_n

Если изм. были выполнены равноточно то m_∑h=m_h√n, n=L/d, где L-длина всего нивелирного хода, d-среднее расстояние м/у рейками.

m_∑h=(m_h√L)/√d, если L=1км;

m_∑h=m_n/√d=mкм,

m_∑h=m_км√L_км;

Р_∑h=К/m_h²=C/L.

Вес нивелирного хода обратно пропорционален длинне этого хода.

Вес линии, изм. лентой и нитяным дальномером. Вывод формулы.

При помощи мерной ленты длиной l требуется отложить отрезок линии длиной S равный целому числу лент

S=ln,. n- число откладывания ленты

В результате последовательного откладывания ленты получается общая длинна откладываемо линии:

S=l₁ +l₂+l₃ +…+l_n

Ош. данной ф-и определ. m_S=m√n, где m-СКО складывания ленты.

n=l, m_S=(m√l)/√s,

m/√l=μ,

m_S=μ_S√S -СКО изм. линии лентой. μ_S-коэффициент случ. влияния изм.

Перейдем к весуP_S=K/μ_S²S, K/μ_S²-постоянна

P_S=c/S. Вес линии измеренной лентой, обратно пропорционален длине ленты.

 

Вес нитяного дальномера S=Kl, где К-постоянная дальномера,

Ошибка функции с постоянным множителем равна m_S=Km_l, m_l- ско измеренной линии

P_S=K'/K²m²_l, K=S/l,

P_S= K'l²/S²m²_l, K'l²/m²_l постоянна

P_S=c/S², вес линии измеренной нитяным дальномером обратно пропорционален квадрату ее длины

СКО единицы веса по истинным ошибкам и вероятнейшим поправкам.

СКО единицы веса - СКО измерения, вес которого принят за 1.

ϻ (P=1)

Найдем выраж. СКО 1-ы веса по истин. ош.

l₁,l₂ l₃…l_n

P₁,P₂,P₃…P_n

∆₁,∆₂,∆₃,…,∆_n

ϻ₁=∆₁√Р₁,

ϻ₂=∆₂√Р₂,

ϻ_n=∆_n√Р_n.

Возведем в квадрат и просуммируем.

[ϻ²]/n=[∆²P]/n,

ϻ_ср=√(([∆²P])/n) - СКО единицы веса по истинным ош.

27.Определение веса функции общего вида U=F(X1,X2,…,X_N).

Если известны веса аргументов, то можно найти вес самой ф-и.

Р=K/m²,

K=1,

P=1/m²,

m²=1/P- обратный вес.

m_U=√∑(∂f/∂x_i)²m²x_i,

1/P_U=∑(∂f/∂x_i)²1/P.

28.Определение веса линейных функций вида U=KX(K-const), U=X+Y.

U=K1X1+…+KnXn,

U=∑KiXi,

1/P=∑Ki²1/P.

Если веса будут одинаковыми, а изм. равнточ. то тогда 1/P_U=n/P, P_U=P/n.

Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений, если веса каждой пары измерений одинаковы (в случае влияния систематич. ош. и в случ. отсутствия влияния системат. ош.).

Имеем ряд 2-ых равноточ. изм. каждое соответствующее весу.

x₁,x₂,…,x_n

x₁^',x₂^',…,x_n^'. P_xi≈ P_xi≈ P_i

d_i=x_i-x_i^' как и в случае равноточных измерений эти разност равны ошибкам этих разностей

m_di²=m_xi²+ m_xi²

x_i= (x_i+x_i^')/2

m_xi²=1/4(m_xi²+ m_xi²)

1/P_xi=1/4((1/P_xi)+(1/P_xi^'))=P_xi=P_xi=P_i

1/P_x=1/4(1/P_i)+(1/P_i^')

P_x=2P_i

Тогда при отсутствии системных ошибок и несущ. их влияния ошибка единицы веса через истинные ошибки будет равна:

μ_∆=√([P∆²]/n)

∆=d

μ_d=√([Pd²]/2n)

m_x=μ/√2P_i

Если влияние систематической ошибки велико то находят систематич. ошибку разности двойных неравноточных измерений.

Ѳ=[Pd]/P

∂_i=d_i-Ѳ

μ=√([Pd²]/(2(n-1)))

Все вычисления контролируются по формулам:

[Pv]=0; [Pv] ≠ 0; [Pv]=[P]w, w=L_точ-L_окр