Доверительный интервал для математического ожидания при известном стандартном квадратичном отклонении

Известно значение дисперсии распределения некоторого параметра генеральной совокупности. Обозначим неизвестное нам значение математического ожидания этого параметра генеральной совокупности через , интервальную оценку которого нам необходимо найти.

Предполагаем, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Это не всегда легко проверить. Часто для проверки используются те или иные варианты законов больших чисел. Обычно, например, распределения, близкие к нормальным получаются в ситуациях действия многих относительно слабых и независимых факторов, которые могут определить значение этого параметра в генеральной совокупности.

В большинстве случаев необходимо не то, что значения этого параметра в генеральной совокупности распределены по нормальному закону. Пусть сделана выборка из распределения для случайной величины . Достаточно того, чтобы по нормальному закону были распределены значения выборочной средней . Можно доказать, что при достаточно больших объёмах выборок () закон распределения выборочной средней будет близок к нормальному. Этот вывод обосновывается применением законов больших чисел.

Как мы уже выяснили, математическое ожидание выборочной средней равно математическому ожиданию или среднему значений в генеральной совокупности: , а дисперсия выборочной средней будет . Тогда стандартное квадратичное отклонение для будет равно .

Предположим, что мы задали доверительную вероятность , с которой значение среднего генеральной совокупности попадает в доверительный интервал, т.е. выполняется . В этом соотношении известно, задано, а нужно определить. Поскольку является случайной величиной, распределённой по нормальному закону, для неё по свойствам функции распределения для нормального закона:

Напомним, что здесь - это функция Лапласа, определяющая значения функции распределения стандартной нормальной случайной величины с математическим ожиданием или средней, равной 0, а дисперсией – 1.

У нас получилось, что . Из этого соотношения нужно найти . Если мы для удобства обозначим через , то получим возможность выразить через значение половины ширины доверительного интервала: . А значение определяется из уравнения . На практике значение определяют либо по таблицам функции Лапласа, либо расчётным путём из функции, обратной к функции Лапласа. Последняя возможность имеется, например, в электронных таблицах Microsoft Excel.

В результате получилось, что при заданном значении дисперсии распределения значений параметра в генеральной совокупности на уровне доверительной вероятности значение его средней в генеральной совокупности находится внутри доверительного интервала , т.е. , где - это реализация средней в сделанной выборке из генеральной совокупности.

Как видно, при возрастании объёма выборки точность такой интервальной оценки увеличивается, потому что значение уменьшается. С другой стороны, - это возрастающая функция, поэтому из уравнения получается, что увеличение уровня доверительной вероятности приводит к увеличению значения , а, следовательно, и , т.е. приводит к снижению точности интервальной оценки. Можно сказать, что чем точнее интервальная оценка, тем ниже её доверительная вероятность, а чем менее точна интервальная оценка, тем с большей точностью её можно сделать.

Заметим, что эти формулы были получены для повторной выборки. Для бесповторной выборки логика вывода остаётся неизменной, но необходимо использовать дополнительный множитель в определении , где - это объём генеральной совокупности. Если мало, например, когда объём генеральной совокупности велик или бесповторная выборка имеет объём малый относительно объёма генеральной совокупности, множитель с высокой точностью равен 1, и им можно пренебречь. В этом случае для бесповторной выборки можно использовать те же формулы, что и для повторной без существенного снижения уровня точности определения ширины доверительного интервала.

Таким образом, последовательность действий для определения доверительного интервала математического ожидания некоторого параметра в генеральной совокупности при известном значении дисперсии распределения этого параметра генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью должна быть следующей.

1. Вычисляем значение половины доверительной вероятности .

2. По таблицам функции Лапласа или вычислениями в Microsoft Excel находим такое значение , для которого . При вычислениях в Microsoft Excel, а иногда и при использовании статистических таблиц часто вместо функции Лапласа используют функцию . В таких случаях для пересчёта значений нужно воспользоваться соотношением и тогда решать уравнение: , т.е. искать такое значение , для которого или записанное иначе .

3. Вычисляется половина доверительного интервала по формуле .

4. Доверительный интервал записывается в виде или .

На этом вычисление доверительного интервала при данных условиях заканчивается.