Понятие точечной оценки и её свойства

Одной из задач математической статистики является определение значение параметра генеральной совокупности по известному значению статистики выборки. Например, определение средней температуры за день по нескольким наблюдениям температуры в течение этого дня, определение средней зарплаты по региону по выборочному опросу его жителей и т.п. Чаще всего в практической деятельности, как показывают эти примеры, проводится определение среднего значения параметра генеральной совокупности. Но нередко бывают нужны и дисперсия или стандартное квадратичное отклонение, какие-то другие параметры генеральной совокупности, которые желательно оценивать по значениям соответствующих статистик.

Точечное оценивание предполагает получение приблизительного значения параметра в виде одного числа. Например, средний доход респондентов из выборки рассматривается в качестве оценки среднего дохода лиц, составляющих генеральную совокупность. Основными методами точечного оценивания являются метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод оценивания по минимуму хи-квадрат, метод наименьших квадратов. Например, если для переменной "время, затрачиваемое на дорогу от дома до работы" среднее арифметическое по выборке составило 40 минут, то точечная оценка методом моментов будет заключаться в утверждении, что по генеральной совокупности среднее время на дорогу также составляет приблизительно 40 минут.

Поскольку точечные оценки заведомо не являются точными, их желательными качествами являются несмещенность, эффективность, состоятельность, робастность.

Обозначим через неизвестный параметр, точнее его значение, в генеральной совокупности. А через - соответствующую ему статистику, точнее её значение, в выборке.

Свойства точечных оценок:

1. Несмещённость. Оценка параметра называется несмещённой, если её математическое ожидание равно значению параметра: . Это равенство показывает, что оценивая значение параметра через значение статистики , мы в среднем не ошибаемся. Иначе говоря, при большом числе вычислений статистики чаще всего её значение будет близко к значению параметра генеральной совокупности.

2. Эффективность. Оценка параметра называется эффективной, если она несмещённая и имеет минимальную дисперсию среди всех других несмещённых оценок. Можно доказать, что для случайных выборок более эффективными являются оценки, получаемыми по выборкам больших объёмов. Для практических применений используют не дисперсию, а стандартное квадратичное отклонение, т.е. корень квадратный из дисперсии.

3. Состоятельность. Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к значению параметра . Иначе говоря, оценка параметра называется состоятельной, если при неограниченном числе наблюдений, т.е. неограниченном увеличении объёма выборки, для любого сколь угодно малого числа . Иначе говоря, при оценка сходится по вероятности к значению параметра , что можно записать так: .

4. Робастность оценки означает её устойчивость к наличию резко выделяющихся значений («выбросов») или к нарушению предположений, ограничивающих применение соответствующего статистического метода. Например, на практике никогда нельзя быть уверенным в том, что данные того или иного измерения распределены по нормальному закону. Но, если используются робастные оценки показателей такого распределения, то, как правило, можно применять методы анализа нормальных распределений в условиях некоторых отклонений от нормальности в собранных данных.

Исследованиями несмещенности, эффективности, состоятельности, робастности и других свойств статистических оценок занимается математическая статистика.