Оценка точности геодезических засечек

Для определения координат пунктов маркшейдерских съемочных сетей широкое применение нашли геодезические засечки – прямые и обратные угловые, линейные и линейно-угловые.

На точность определения положения определяемого пункта P влияет вид засечки, количество исходных пунктов и геометрия треугольников, образующихся между определяемым и исходными пунктами.

Средняя квадратическая ошибка положения пункта P определяется по формуле

(4.29)

 

где h₁ и h₂ – диагональные элементы обратной весовой матрицы координат определяемого пункта

Матрица N выглядит следующим образом

 

(4.30)

поэтому

 

где – определитель матрицы N.

Таким образом, подставляя в формулу (4.29) элементы матрицы N, получаем формулу определения средней квадратической ошибки положения пункта P в общем виде

 

(4.31)

где m – ошибка единицы веса.

При оценке точности пунктов маркшейдерских съемочных сетей за ошибку единицы веса в формуле (4.31) принимается средняя квадратическая ошибка измерения горизонтальных углов m _b = 20². В линейной засечке m = m_l и значения m_P принимаются в метрах, поэтому необходимо произвести переход от угловых величин к линейным, воспользовавшись отношением (4.13)

(4.32)

где m_l – средняя квадратическая ошибка линейных измерений, мм.

Подкоренное выражение формулы (4.31) зависит от вида и геометрии засечек.

Для вывода формул ошибки положения пункта P по каждой засечке приведем исходные данные к общему виду. При 3-х исходных пунктах засечки можно представить в виде двух треугольников (рис. 4.40).

Так как ошибка положения пункта не зависит от направления осей прямоугольной системы координат, направим ось х по линии 2-Р так, как это показано на рис. 4.47. Используем теорию параметрического уравнивания. Обозначим координаты пункта Р через параметры:

 

Х_Р = Т ₁ ; Y_P = Т ₂.

 

Рассмотрим сначала однократные засечки.

 

 

 

Рис. 4.47. Общая схема засечек

 

Прямая угловая засечка

При прямой угловой засечке измеряются углы β₁ и β₂ . Выразим эти углы через координаты исходных пунктов и параметры:

 

;

(4.33)

.

 

Дифференцируя выражения (4.33) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

 

Введем обозначения: – градиенты направлений [30]. Учтем, что: . Тогда для матрицы А получим:

 

 

Так как углы измерены равноточно, матрица весов Р – единичная, и элементы матрицы N вычислены по формулам:

 

 

 

 

По формуле (4.31) получим ошибку положения пункта

 

. (4.34)

 

Линейная засечка

При линейной засечке измеряются стороны l ₁ и l ₂ . Выразим их через координаты исходных пунктов и параметры:

 

;

(4.35)

.

 

Дифференцируя выражения (4.35) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

 

 

Матрица весов Р – не единичная, т. к. линейные измерения – неравноточные. Примем за ошибку единицы веса . Матрица весов измеренных длин

 

.

 

Элементы матрицы N вычисляем по формулам:

 

 

 

 

По формуле (4.31) получим ошибку положения пункта

 

. (4.36)

 

Если ошибки линейных измерений имеют вид

 

(4.37)

 

то ошибка положения пункта Р

. (4.38)

 

Прямая линейно-угловая засечка.

Прямая линейно-угловая засечка заключается в измерении углов β₁, β₂ и сторон l ₁, l ₂. Используя решения угловой и линейной засечек, запишем матрицы А и Р:

; .

 

После преобразований получим

 

.

 

Обратная угловая засечка.

При обратной угловой засечке измеряются углы γ₁ и γ₂ . Для обратных засечек при выводе формул удобно центр системы координат поместить в пункт Р, а ось х направить вдоль стороны Р 2 (см. ось х₁ на рис. 4.46). Выразим углы γ₁ и γ₂ через координаты исходных пунктов и параметры:

 

;

(4.39)

.

Дифференцируя выражения (4.39) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

 

 

 

Матрица весов Р – единичная, ошибка единицы веса . Далее получим:

 

, (4.40)

 

или

 

, (4.41)

 

или

 

Ошибка положения определяемого пункта при однократной обратной угловой засечке (в случае измерения углов γ₁ и γ₂)

 

(4.42)

Обычно при точке Р измеряются не углы γ₁ и γ₂, а направления N_{P 1}, N_{P 2} и N_{P 3} и μ = m_N = [29]. Уравнения связи для измеренных направлений будут иметь вид:

 

, (4.43)

 

где Т_р – третий параметр (ориентирный угол) [26].

Дифференцируя выражения (4.43) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

 

 

 

Последняя строка матрицы А (элементы а ₄₁ и а ₄₂) вводится в связи с переходом к эквивалентной системе уравнений поправок для исключения третьего параметра Т_р [26]. Матрица весов теперь не будет единичной, т. к. р ₄ = р _S = – 1 / 3:

.

 

Далее получим:

 

(4.44)

или

 

, (4.45)

или

 

Ошибка положения определяемого пункта при однократной обратной угловой засечке (в случае измерения направлений N_{P 1}, N_{P 2} и N_{P 3})

 

(4.46)

 

Формулы оценки точности обратной угловой засечки содержат некий графический смысл. Если отложить на направлениях Р -1, Р -2, Р -3 (см. рис. 4.48) градиенты r ₁, r ₂, r ₃, получим так называемый обращенный треугольник АВС [30] со сторонами с ₁₂, с ₁₃, с ₂₃.

Используя тригонометрические соотношения, в формулах (4.40), (4.41), (4.44), (4.45) можно записать:

 

,

где S – площадь обращенного треугольника.

 

 

Рис. 4.48. Построение обращенного треугольника

 

Формулы для определения ошибки положения определяемого пункта через элементы обращенного треугольника имеют вид:

для засечек с измеренными углами

 

(4.47)

 

для засечек с измеренными направлениями

(4.48)

 

Несмотря на простой вид формул (4.47) и (4.48) для расчетов они неудобны, и лучше пользоваться формулами (4.42) и (4.46).