Геометрического нивелирования

 

Показатели	III класс	IV класс	Техническое нивелирование
СКО превышения в равнинной местности, мм
СКО превышения в гористой местности, мм	1,2	2,5
Допустимая невязка в гористой местности, f доп	2,5 мм	5 мм	10 мм

 

Важной характеристикой точности работ по геометрическому нивелированию является средняя квадратическая ошибка двойного нивелирования 1 км хода или средняя квадратическая ошибка среднего из прямого и обратного ходов длиной 1 км. Именно эта характеристика является паспортной точностью нивелиров и служит для выбора нивелира при проектировании работ.

Для расчета СКО на 1 км двойного хода применяется формула

. (4.24)

 

Для высотных маркшейдерских опорных и съемочных сетей получим:

III класс – = 3,5 мм (μ = 10 мм, k_з = 2);

IV класс – = 7 мм (μ = 20 мм, k_з = 2);

техническое нивелирование – = 14 мм (μ = 50 мм, k_з = 2,5).

Эти значения хорошо согласуются с нормативными характеристиками (см. табл. 4.7). В табл. 4.9 приведены современные нивелиры, точность которых отвечает требованиям, предъявляемым к маркшейдерским высотным сетям.

Формула (4.21) получена для свободных ходов. Ошибка положения любой k -ой точки хода определяется по этой же формуле, но с заменой n = k. С увеличением номера точки возрастает ошибка положения точки.

 

Таблица 4.9

Современные нивелиры, точность которых отвечает требованиям, предъявляемым к маркшейдерским высотным сетям

Класс нивелирования	, мм	Нивелиры с компенсатором
требуемая	приборная
III	3,5	2,5 – 3	С410 (Sokkia) FG-040 (FPM) 4Н-3КЛ (Россия)
IV			3Н-5КЛ (Россия)
Техническое			3Н-10КЛ

На практике часто ходы прокладываются между реперами более высокого разряда. Если полученная при этом невязка не превысила допустимые значения, то выполняется уравнивание хода – невязка распределяется с обратным знаком поровну на все превышения. Погрешностями исходных реперов пренебрегают.

Рассмотрим нивелирный ход, проложенный между двумя реперами А и В (рис. 4.45).

Рис. 4.45. Нивелирный ход между реперами А и В

 

Поправка в превышение вычисляется по формуле

 

,

где невязка .

После введения поправок в превышения, высотная отметка k-ой точки хода равна

.

 

С учетом принятых допущений () найдем среднюю квадратическую ошибку высотной отметки k-ой точки хода

.

 

Заметим, что первые k производных равны , а следующие (n – k) производных равны . Поэтому получим

 

(4.25)

Функция (4.25) достигает максимум при k = 0,5 n, т. е. наибольшую ошибку имеет пункт, находящийся в середине хода. Причем эта ошибка в 2 раза меньше ошибки последнего пункта свободного хода (при той же длине хода). На рис. 4.46 представлено распределение ошибок положения пунктов в высотных ходах – свободном и несвободном.

Расчеты выполнены по формулам (4.21) и (4.25) для n = 10, средние квадратические ошибки пунктов выражены в средних квадратических ошибках превышений m_h, т. е по оси ординат даны значения подкоренных выражений в расчетных формулах.

 

Рис. 4.46. Распределение ошибок положения пунктов в высотных ходах

 

Появление светодальномеров, а в последние годы электронных тахеометров способствовало широкому внедрению в практику построения планово-высотных сетей метода тригонометрического нивелирования.

Превышение между двумя пунктами при тригонометрическом нивелировании

, (4.26)

 

где l – измеренная наклонная длина линии; δ – вертикальный угол (или зенитное расстояние); i и v – высоты инструмента и визирной цели.

Дифференцируем формулу (4.26) и найдем дисперсию превышения по правилам теории ошибок

.

Для хода, состоящего из n вершин, погрешность высотной отметки последнего пункта определится из формулы

 

.

 

Примем закон ошибок линейных измерений в форме и пусть m_i = m_v. Тогда

. (4.27)

 

Приравняем в соответствии с принципом равных ошибок и пренебрежем вторым слагаемым. Для двойного равностороннего хода получим

,

 

или . (4.28)

 

Опыт тригонометрического нивелирования с помощью электронных тахеометров показывает, что оптимальными можно считать длины сторон тригонометрического хода 300-400 м. При больших сторонах начинает сказываться ошибка наведения, и точность измерения вертикального угла снижается. Меньшие стороны приводят к росту числа стоянок.

Сравнивая формулы (4.22) и (4.28), найдем при l = 0,4 км и Т = 100 000 (4-й класс полигонометрии) предельное значение для μ (k_з = 2):

μ_пред 9 мм,

 

что соответствует точности геометрического нивелирования III класса. Аналогично получится, что если приборы и методика обеспечивают точность полигонометрии 1-го разряда, то тригонометрическое нивелирование обеспечит точность геометрического нивелирования IV класса. Второму разряду полигонометрии будет соответствовать тригонометрическое нивелирование технической точности.

В табл. 7 приведены сведения о современных электронных тахеометрах, применяемых при создании маркшейдерских опорных сетей.

 

Таблица 4.10