Оценка точности двукратных засечек

 

Вид засечки	Ошибка положения пункта
Прямая угловая
Линейная
Обратная по углам
Обратная по направлениям

 

В табл. 4.14 приведены значения коэффициента k, полученные при m _b = 20² и различных значениях горизонтальных углов b.

 

Таблица 4.14

Значения коэффициента k для двукратных засечек

 

b, град.
Прямая угловая засечка	0,105	0,064	0,058	0,063	0,075	0,100	0,175	0,595
Линейная засечка	0,106	0,067	0,065	0,076	0,091	0,112	0,183	0,601
Обратная угловая по углам			0,037	0,050	0,071	0,112	0,268	1,731
Обратная угловая по направлениям			0,042	0,046	0,055	0,090	0,240	1,683

Из таблиц 4.13 и 4.14 можно заключить:

при равных условиях наиболее высокую точность обеспечивает обратная угловая засечка, уравненная по направлениям, а при γ < 55º – прямая угловая засечка;

ошибка положения пункта принимает наименьшее значение при следующих значениях угла γ – 122º и 128º (соответственно, прямая угловая и линейная засечки);

точность обратной угловой засечки с измеренными направлениями выше точности засечки с измеренными углами (при γ < 110º);

повышение точности двукратных засечек относительно точности однократных засечек происходит не просто в раз, а зависит от геометрии засечки.

Точность засечек прямо пропорционально зависит от точности угловых (и линейных) измерений m _b и от длины базисной стороны c. Это позволяет с помощью таблиц 4.12 и 4.14 выполнять оценку точности засечек при других условиях измерений. При этом значения коэффициента k будут пропорционально изменяться в зависимости от точности угловых измерений m _b.

Пример. Оценить ошибку положения пункта P, определяемого с помощью обратной угловой засечки по измеренным направлениям с 4-х исходных пунктов (двукратная засечка). Значения базисов c ₁ = 0,2 км, c ₂ = 0,4 км, c ₃ = 0,6 км. Среднее значение горизонтального угла при исходных пунктах . СКО угловых измерений m _b = 5².

Значение коэффициента k = 0,046 (при m _b = 20²) определяется из таблицы 4.14 (для двукратных засечек) при b = 40°. Для заданных условий коэффициент k определяется из выражения

 

Тогда

Ответы, получаемые по формулам (табл. 4.11 и табл. 4.13), имеют некоторую погрешность, обусловленную тем, что вместо точных значений геометрических элементов принимались средние их значения, и расчет формул выполнялся по упрощенному принципу (b = b₁ = b₂ = b₃ = b₄, l = l ₁ = l ₂ = l ₃).

 

Точность спутниковых геодезических

Технологий

Наряду с традиционными методами создания маркшейдерских опорных и съемочных сетей в последние десятилетия все более широкое применение на карьерах находят спутниковые геодезические технологии. В геодезическом смысле они реализуют принцип пространственной обратной линейной засечки – когда пространственные координаты (x, y, z) пункта наземной сети определяются по расстояниям, измеренным от этого пункта до четырех и более спутников, положение которых известно с достаточной точностью.

Основным достоинством спутниковых систем является их оперативность, всепогодность, оптимальная точность и эффективность. Для измерений не нужна видимость между определяемыми пунктами. Метод определения координат геодезических пунктов с помощью спутниковых систем называют позиционированием.

Анализ точности позиционирования начнем с простой схемы (рис. 4.49). Пусть определяются координаты X_P, Y_P, Z_P по измеренным расстояниям (дальностям) от определяемого пункта P до трех спутников – 1, 2 и 3.

Рассмотрим пирамиду 123Р, для которой примем два условия: основание пирамиды равносторонний треугольник 123, расположенный в горизонтальной плоскости, а ребра – l ₁, l ₂ , l ₃ – равны между собой и наклонены к горизонту (как и к основанию пирамиды) под углом δ.

Центр системы координат поместим в точку Р, ось z направим по высоте пирамиды вверх к основанию, а ось х – через точку 1. В равностороннем треугольнике 123 точка О – место пересечения медиан – отстоит от вершин треугольника на расстояние R (радиус описанной окружности), а от сторон треугольника на расстояние R/2. Учитывая, что в равностороннем треугольнике медиана – и биссектриса, и высота треугольника – она делит внутренние углы треугольника (60º) пополам.

 

Рис. 4.49. Позиционирование от трех спутников

 

Запишем в принятой системе координаты вершин пирамиды:

 

Координаты				P
x	R
y
z	H	H	H

 

Обозначим координаты определяемого пункта Р через параметры:

 

Х_Р = Т ₁ ; Y_P = Т ₂; Z_P = T ₃.

 

Выразим измеренные величины через координаты исходных пунктов и параметры:

 

 

(4.55)

 

Дифференцируя выражения (4.55) по параметрам, найдем элементы матрицы А:

 

 

 

Примем линейные измерения равноточными и матрицу весов Р – единичной, примем за ошибку единицы веса . Обратная весовая матрица координат определяемого пункта

 

.

 

Диагональные элементы матрицы Q _P используются для расчета ошибки положения пункта P:

 

 

в плане

в пространстве

по высоте

 

Элементы матрицы Q _P определяются только геометрией засечки. В теории анализа точности спутниковых геодезических измерений используется понятие геометрического фактора (ГФ) – отношение ошибки положения пункта к ошибке единицы веса [31]

ГФ

В зависимости от вида ошибки положения (в плане, по высоте или в пространстве) геометрический фактор имеет следующие обозначения:

 

(4.56)

 

Из формулы (56) следует связь

 

PDOP ² = HDOP ² + VDOP ².

Для нашего примера: q ₁₁ = q ₂₂ = ; q ₃₃ = В табл. 4.15 приведены значения геометрического фактора при различных углах возвышения спутников над горизонтом.

 

Таблица 4.15

Влияние угла возвышения δ на точность позиционирования

 

ГФ	Угол возвышения спутников над горизонтом δ
10º	20º	30º	40º	50º	60º	70º	80º
PDOP	3,53	2,09	1,76	1,75	1,95	2,40	3,43	6,68
HDOP	1,17	1,23	1,33	1,51	1,80	2,31	3,38	6,65
VDOP	3,32	1,69	1,15	0,90	0,75	0,67	0,61	0,59

 

Из таблицы следует, что хорошие результаты получаются при небольших углах возвышения спутников – 30º… 40º. Вообще геометрический фактор зависит также от широты местности, количества наблюдаемых спутников и других факторов. ГФ становится меньше при наблюдении более 4 спутников, достаточно хорошим считается наблюдение шести спутников.

Основным показателем ГФ является PDOP. Для оценки качества засечки пользуются следующей шкалой:

 

 

PDOP	Вербальная оценка
<4	Хорошо
5-7	Удовлетворительно
>7	Плохо

 

Геометрический фактор – не единственный источник ошибок при спутниковых геодезических измерениях. Источниками формирования ошибки определения расстояния от приемника до спутника являются также [32, 33]:

оборудование космического аппарата и наземный контрольно-измерительный комплекс;

среда распространения сигнала от спутника к приемнику станции наблюдения;

приемная станция;

методика наблюдений и обработки результатов измерений.

Ошибки от первого источника обусловлены неидеальностью частотно-временного и эфемероидного обеспечения спутников. Погрешности частотно-временного обеспечения возникают при сверке и хранении бортовой шкалы времени. Наблюдение и корректировку часов на спутнике ведут наземные контрольно-измерительные комплексы. Эфемериды (координаты) спутника в момент отправки сигнала содержат ошибки вследствие влияния внешних факторов – Солнца, Земли, Луны и проч. Корректировка координат спутника производится также контрольно-измерительными комплексами. Перечисленные ошибки практически исключаются при дифференциальных наблюдениях.

При распространении радиосигнала от спутника к приемной станции скорость его не остается постоянной, а меняется на различных участках атмосферы – особенно в ионосфере и тропосфере. Снижение влияния ионосферы на результаты позиционирования происходит за счет использования двух несущих частот и работы на двухчастотных приемных станциях. Задержка радиосигналов в тропосфере наиболее сказывается при наблюдениях за спутниками, имеющими угол возвышения над горизонтом δ < 10º – 15º. Поэтому спутники с малым углом возвышения не отслеживаются. Эта мера направлена и на снижение влияния ошибок за счет изменения пути радиосигнала вследствие отражения от поверхности земли, зданий и других объектов, находящихся поблизости от приемной станции. Для снижения влияния многолучевости (многопутности) радиосигнала рекомендуется: выбирать место наблюдений вдали от отражающих объектов; устанавливать дополнительные экранирующие приспособления; увеличивать время работы на станции.

Инструментальные ошибки или ошибки работы на приемной станции в большинстве своем исключаются при дифференциальных наблюдениях. К таким ошибкам относятся погрешности хода часов в приемнике, временные задержки в многоканальных приемниках. Неустраняемыми являются ошибки измерения высоты и центрирования прибора и антенны. Их значения составляют первые миллиметры и входят в составляющую a средней квадратической ошибки GPS-измерений. Общая ошибка спутникового позиционирования описывается линейной функцией

,

где для высокоточных моделей приемников и методов измерений а составляет 2…5 мм, а b – 1 … 3 мм/км. При этом точность координаты z в 2 – 3 раза ниже точности определения плановых координат.

Тип приемника, методика наблюдений и последующей обработки результатов измерений (постобработка) являются определяющими при оценке точности позиционирования. Современные кодово-фазовые многоканальные двухчастотные приемники позволяют работать как в кодовом, так и в более точном – фазовом режиме.

Кодовым методом проводят абсолютные наблюдения – определяют непосредственно координаты пункта, на котором установлен приемник. Фазовый метод применяют при относительных (дифференциальных) измерениях, когда определяют приращения координат между пунктами-станциями, на которых одновременно работают GPS-приемники, причем одна из этих станций – базовая, с известными координатами. Из этих относительных измерений образуют разности трех типов: простые, сдвоенные и строенные. Разности практически свободны от большинства погрешностей.

Так первые или простые разности (разности измерений между приемниками) не содержат искажений аппаратуры спутника, ослаблены влияния атмосферных воздействий и погрешности эфемерид. Чем ближе расположены станции A и B, тем полнее компенсированы искажения. Вторые разности (разности измерений между спутниками) свободны как от искажений на спутнике, так и от искажений на наземных станциях.

Вторые и третьи разности используются в постобработке и уравнительных вычислениях для оценки фактической точности измерений.