Расчет переходной характеристики фильтра

При анализе цепей наряду с частотными характеристиками рассчитывают и строят временные характеристики – переходную или импульсную . Как и частотные характеристики, каждая из временных характеристик в полной мере определяет динамические свойства цепи. Между собою переходная и импульсная характеристики связаны формулой обобщенной производной

 

=

 

(, – соответственно импульсная и ступенчатая единичные функции).

Переходной характеристикой цепи называется отношение реакции (выходного сигнала) цепи при нулевых независимых начальных условиях на ступенчатое воздействие (ступенчатый входной сигнал) к величине этого воздействия. В частности, переходной передаточной характеристикой по напряжению четырехполюсника является временная функция:

 

= ,

 

где – выходное напряжение четырехполюсника при нулевых независимых начальных значениях и вход­ном напряжении = .

Уравнение переходной характеристики можно получить операторным методом. Операторное изображение ступенчатого входного напряжения = . Тогда операторное изображение выходного напряжения , определяемое с помощью операторной передаточной функции , будет = = . Отсюда получаем операторное изображение переходной характеристики:

 

= = .

 

Для нахождения оригинала переходной характеристики по ее изображению можно воспользоваться таблицами обратного преобразования Лапласа, теоремой вычетов (разлагая изображение на простые дроби) или теоремой разложения.

Рассмотрим пример расчета переходной характеристики фильтра второго порядка.

Пример 4. Получить уравнение переходной характеристики активного режекторного фильтра, рассчитанного в примере 2.

По формуле

 

=

 

найдем операторное изображение переходной характеристики фильтра. Используя выражение для операторной передаточной функции из примера 3, запишем

 

= = .

 

Определение оригинала переходной характеристики по данному изображению осуществим по теореме разложения. Для этого вычислим корни уравнения

 

= =0,

 

которые являются полюсами операторной функции . Она имеет три полюса (один нулевой и два комплексно-сопряженных):

 

=0; =– (1,667+ 6,307)10⁴; =– (1,667– 6,307).

Воспользуемся формулой теоремы разложения для случая трех прос­тых (некратных) полюсов, один из которых нулевой:

 

= + + .

 

Проведя вычисления, получим искомое уравнение переходной характеристики фильтра:

 

= –10–5,11·10^-2 .

В ходе преобразований при подобных вычислениях полезно помнить формулы

; ;

 

, где .

 

В заключение заметим, что для случая, когда операторное изображение имеет три полюса, один из которых нулевой ( =0), а два других равны между собой ( = – корень кратности два), формула теоремы разложения имеет вид

 

= .

 

Анализ результатов

Правильность полученных частотных и временных зависимостей должна подтверждаться при качественном анализе результатов. Для этого можно прибегнуть к анализу асимптотических режимов работы фильтра.

При рассмотрении поведения частотных характеристик следует проанализировать предельные режимы при и . В случае (режим постоянного тока) конфигурация цепи упрощается, так как постоянный ток не протекает через емкостные элементы. Поэтому для определения передаточной функции на постоянном токе емкостные элементы следует заменить разрывом цепи. При емкостные сопротивления стремятся к нулю. Поэтому для анализа цепи при высоких частотах следует, наоборот, закоротить емкостные элементы.

Аналогично поведение переходной характеристики должно подтверждаться анализом предельных режимов при и . В момент времени в силу нулевых независимых начальных условий падения напряжения на емкостных элементах равны нулю, что равнозначно замыканию этих элементов накоротко. После ступенчатого изменения входного напряжения в цепи при установится режим постоянного тока, при котором емкостные элементы будут соответствовать разрыву цепи.

Получаемые таким образом схемы замещения для асимптотических режимов, помимо ОУ, содержат только резистивные элементы. Анализ этих схем значительно проще, чем исходной схемы.

Приложение 1

 

Образец титульного листа пояснительной записки

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Казанский государственный энергетический университет

 

Кафедра теоретических основ электротехники

 

 

Расчет линейных активных RC -цепей

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «Теоретические основы электротехники»

 

Расчетно-пояснительная записка

 

 

Выполнил студент гр. ЗПЭ-1-04		_______________М.В. Петров
		«_____»_____________200__ г.
Руководитель к.т.н. доцент		______________И.П. Сидоров
		«_____»_____________200__ г.

 

 

Казань 200__

Приложение 2

 

Образец листа задания на курсовой проект

 

ЗАДАНИЕ

на курсовой проект по курсу «Теоретические основы электротехники»

Тема «Расчет линейных активных RC-цепей»

Вариант № 27

 

1. Вывести уравнение операторной передаточной функции по напряжению активного RC -фильтра второго порядка. Принципиальная схема фильтра приведена на рисунке. При расчетах операционный усилитель считать идеальным.

2. Рассчитать параметры резистивных и емкостных элементов фильтра заданной схемы. Фильтр должен иметь коэффициент передачи в полосе пропускания =50, характеристическую частоту =10 кГц, добротность =6. Определить нули и полюсы операторной передаточной функции фильтра.

3. Рассчитать и построить графики амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик фильтра с заданными параметрами. Определить частоты среза , , полосу пропускания , крутизну спада амплитудно-частотной характеристики .

4. Рассчитать и построить график переходной передаточной характеристики по напряжению фильтра с заданными параметрами.

5. Провести анализ полученных результатов, дав качественное объяснение поведения амплитудно-частотной, фазочастотной и переходной характеристик фильтра.

 

 

Получил студент гр. ЗПЭ-1-04		_______________М. В. Петров
		«_____»_____________200__ г.
Срок сдачи		«_____»_____________200__ г.
Руководитель к.т.н. доцент		______________И. П. Сидоров
		«_____»_____________200__ г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

(рекомендуемая литература)

 

1. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.

3. Павлов В.Н., Ногин В.Н. Схемотехника аналоговых электронных устройств. – М.: Горячая линия-Телеком, 2005. – 320 с.

4. Прянишников В.А. Теоретические основы электротехники. – СПб.: КОРОНА принт, 2000. – 368 с.

5. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей. – СПб.: Лань, 2004. – 464 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………...............
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ И ЕГО ВЫПОЛНЕНИЕ
Задание на курсовой проект……………………………………....................
Состав курсового проекта………………………………………....................
Указания к оформлению пояснительной записки….....................................
Указания к оформлению графической части….............................................
Использование компьютера при проектировании…....................................
График выполнения курсового проекта….....................................................
Порядок защиты курсового проекта…….......................................................
Вопросы для самопроверки…….....................................................................
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТОВ
Активные RC -фильтры…................................................................................
Расчет операторной передаточной функции
активного четырехполюсника…….................................................................
Параметрический синтез фильтра.................................................................
Расчет частотных характеристик фильтра….................................................
Расчет переходной характеристики фильтра….............................................
Анализ результатов.........................................................................................
Приложение 1……...........................................................................................
Приложение 2…...............................................................................................
Библиографический список….........................................................................