КИХ-фильтры с оконным ФЧХ. Синтез КИХ-фильтра оконным методом

Для ЦЦ с линейной ФЧХ импульсная характеристика h(n) является симметричной, т.е. выполняется условие вида Если учесть это в (2.5), приходим к выражению вида - тригонометрический полином.

Эффект колебаний Гиббса Если желаемая частотная характеристика имеет прямоугольный вид, то воспроизводимая частотная характеристика реализуемого фильтра получается как свѐртка в частотной области прямоугольной ЧХ H(ω) и спектрального окна W(ω) вида sin(ω)/ω, соответствующего прямоугольной весовой функции W(n) (рис. 2.10 и рис. 2.11)

Заметим, что уровень боковых лепестков в зоне непрозрачности достигает 13 дБ по первому лепестку. При этом, если увеличить длину прямоугольного окна, то пропорционально увеличивается частота колебаний и сужается переходная зона АЧХ. Но при этом первый лепесток в зоне непрозрачности лежит на уровне 13 дБ.

Решение задачи аппроксимации опирается на один из двух подходов:

 оконные методы (не оптимальное решение);

 минимаксная аппроксимация (с использованием численных методов оптимизации).

 

 

1. Окно Бартлета (треугольное) (рис. 2.12)

Позволяет уменьшить уровень колебаний Гиббса на 25 дБ, но сопровождается уменьшением показателя прямоугольности АЧХ в 2 раза.

2. Окно Хэннинга («косинус на пьедестале») (рис. 2.13)

При той же эффективной ширине полосы пропускания, что и у треугольного окна, позволяет уменьшить уровень колебаний Гиббса до 31 дБ.

3. Окно Хэмминга

Близкое по форме к «косинусу на пьедестале», но позволяющее уменьшить уровень колебаний Гиббса до 41 дБ. Однако, не обеспечивает столь быстрого ослабления боковых лепестков с увеличением частоты, которое имеет место для прямоугольного и треугольного окон. Все эти окна не дают оптимального решения, т.е. не обеспечивают минимального уровня боковых лепестков при заданной ширине переходной

зоны АЧХ. Представление с наперед заданной точностью желаемой частотной характеристики H(ω), не принадлежащей пространству функций RN, имеет место для всех функций H(ω), отвечающих условиям теоремы Вейерштрасса.

 

 

10. Z-преобразование и его свойства

Пусть x(n) – некоторая временная последовательность, в общем случае заданная при всех Тогда преобразование вида

Z-преобразование, где z – комплексная переменная. X(z) – Z-образ последовательности x(n). Имеет место обратное Z-преобразование

Свойства Z-преобразований

 

 

 

Установим связь между Z-образом выходного сигнала , Z-образом входного сигнала и Z-образом импульсной характеристики . Найдѐм Z-преобразование левой и правой части свѐртки, используя свойства линейности и задержки, установленные выше.

Используя и меняя порядок суммирования, получим

Отсюда следует

 

Таким образом, получим:

Здесь H(z) определяет преобразование Z-образа X(z) входного сигнала при его прохождении через цифровую цепь. H(z) называют передаточной или системной функцией цепи. Установлено, что между передаточной функцией H(z) и комплексной

частотной характеристикой H(jω) имеет место простая связь.

Таким образом, выполнив подстановку вида , получим:

 

 

11. Преобразование Фурье и его связь с Z-преобразованием.

Z-преобразование, где z – комплексная переменная. X(z) – Z-образ последовательности x(n).

Здесь забить формулы связи зет с преобразованием Фурье.

 

 

Проблемы устойчивости и чувствительности цифровых БИХ-фильтров.

Вследствие обратной связи требуется очень точное представление коэффициентов БИХ-фильтра. Все полюсы должны находиться в окружности единичного радиуса. Проблемой устойчивости является близость полюсов к единичной окружности. Чувствительность полюсов и цифровых БИХ-фильтров многократно возрастает с увеличением порядка фильтра, так как количественная оценка чувствительности полюсов к неточному представлению коэффициентов обратно пропорциональна произведению расстояния между ними.

 

 

Описание линейных дискретных систем в Z-области.

 

 

Передаточная функция цифровой цепи. Взаимосвязь между передаточной функцией и разностным уравнением.

 

 

15. Передаточные функции и импульсные характеристики цифровые звенья первого порядка.