Параметрический синтез фильтра

Теоретической основой проектирования электротехнических устройств является синтез электрических цепей. Под синтезом цепей понимают расчетный процесс, обратный процессу анализа цепей. Анализ – это определение электрических свойств цепи, когда известны ее структура (схема соединения элементов) и параметры элементов структуры. Синтез – это создание структуры цепи (структурный синтез) и определение параметров элементов (параметрический синтез) по заданным электрическим свойствам цепи.

Понятия синтеза цепей и их проектирования не эквивалентны. Задача синтеза не является однозначной – одними и теми же свойствами могут обладать различные цепи. Процесс выбора наилучшего в том или ином смысле решения является уже оптимизацией и относится к проектированию.

Алгоритм проектирования активного фильтра в общем случае включает в себя следующие этапы:

1) аппроксимация заданной в технических требованиях частотной или временной характеристики, в результате чего находится операторная передаточная функция физически реализуемой цепи;

2) выбор схемы фильтра на базе проведенного структурного синтеза;

3) определение параметров элементов схемы (параметрический синтез).

В курсовом проекте предусмотрено выполнение лишь последнего этапа – для фильтра с заданной схемой необходимо рассчитать параметры его пассивных элементов. При этом расчетные значения параметров резистивных и емкостных элементов следует заменять номинальными значениями соответственно сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов. Для последних установлены стандартные ряды номинальных значений (ГОСТ 2825-67). Пример расчета приведен ниже.

Операторная передаточная функция = фильтра характеризуется особыми точками – нулями и полюсами . Нулями называются корни уравнения =0, полюсами – корни уравнения =0. Особые точки отображаются на плоскости комплексной частоты (строится карта нулей и полюсов фильтра). Так как функцию можно представить в виде

 

= ,

 

то она полностью определяется расположением своих особых точек на плоскости комплексной частоты (с точностью до постоянного множителя ).

Пример 2. На базе активного четырехполюсника второго порядка (схема на рис. 10) осуществить параметрический синтез режекторного фильтра с параметрами =10; = =10 кГц; =2. Определить его нули и полюсы.

Из дробно-рационального выражения для передаточной функции режекторного фильтра второго порядка (см. табл. 3, форма 1) заключаем, что для него =0. Сравнивая между собой две употребляемые формы записи передаточной функции режекторного фильтра второго порядка (см. табл. 3, формы 1, 2), можем видеть, что = ; = = ; = = ; = .

Таким образом, для определения параметров (параметрического синтеза) восьми пассивных элементов (, , – ) заданной цепи, удовлетворяющей заданным электрическим свойствам, имеем четыре уравнения. Недостающие уравнения получим, наложив следующие дополнительные условия. Исходя из сокращения номенклатуры номиналов элементов и в целях обеспечения относительно большого входного сопротивления каскадов положим = = , = = = =10 кОм.

Воспользуемся полученными в примере 1 выражениями для коэффициентов , дробно-рационального представления передаточной функции через параметры элементов схемы , , – . В результате подстановки получим

 

= = =0;

 

= = ;

 

= = ;

 

= = = = = .

Отсюда находим

=2 =2·10⁴=20·10³ Ом=20 кОм;

 

= =10·10⁴=10⁵ Ом=100 кОм;

 

= = =1,429·10³ Ом≈1,5 кОм;

 

= = =

 

=3,116·10^-9 Ф≈3 нФ.

 

Параметры всех элементов фильтра определены. Их конкретные значения выбраны в соответствии с рядами номинальных значений сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов.

Численные значения коэффициентов дробно-рационального представления передаточной функции = рассчитанного режекторного фильтра равны:

 

=–9·10^-22 (рад/с)^-2;	=0,9·10^-22 (рад/с)^-2;
=0 рад/с;	=3·10^-18 рад/с;
=–3,83·10^-12;	=0,383·10^-12.

 

Нули и полюсы фильтра определим из уравнений:

= ;

 

= .

Получаем, что фильтр имеет по два комплексно-сопряженных нуля и полюса: = рад/с; = рад/с.