Расчет частотных характеристик фильтра

При гармоническом воздействии (гармоническом входном сигнале) для линейной цепи в установившемся режиме вводятся понятия комплексных параметров. Передаточным комплексным параметром цепи называется отношение комплексной амплитуды отклика (выходного сигнала) к комплексной амплитуде воздействия (входного сигнала). Одним из таких параметров является рассматриваемый при проектировании комплексный коэффициент передачи по напряжению – отношение комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде входного напряжения :

 

= = = = .

 

Зависимость комплексного коэффициента передачи по напряжению от частоты носит название комплексной передаточной функции цепи по напряжению и обозначается . В общем случае функция принимает комплексные значения и может быть представлена в показательной форме:

 

= .

 

Модуль комплексной передаточной функции

 

= =

 

является зависимостью от частоты коэффициента передачи по напряжению (отношения амплитуд выходного и входного напряжений); зависимость называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи.

Аргумент комплексной передаточной функции

 

= = –

 

представляет собой зависимость от частоты сдвига фаз между выходным и входным напряжениями; зависимость называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

Уравнение комплексной передаточной функции может быть получено из уравнения операторной передаточной функции при замене операторной переменной на мнимую частоту :

= .

 

В свою очередь, после выделения действительных , и мнимых , составляющих числителя и знаменателя дробного выражения комплексной передаточной функции

 

= = ,

 

легко находятся уравнения АЧХ и ФЧХ цепи:

 

= = ;

 

= = - ;

 

= при ;

 

= при , ;

 

= при , ;

 

= при ;

 

= при , ;

 

= при , .

 

При построении графиков частотных характеристик, когда частота изменяется в широких пределах (две декады и более), по оси абсцисс обычно откладывают не саму частоту (линейный, абсолютный масштаб), а ее десятичный логарифм (логарифмический масштаб), указывая при этом на оси значения самой частоты .

Значения коэффициента передачи по оси ординат могут быть отложены как в абсолютных единицах (линейный, абсолютный масштаб), так и в децибелах (логарифмический масштаб). Если логарифмический масштаб использован для обеих осей, то говорят, что график АЧХ построен в логарифмическом масштабе. При этом зависимость, отображаемую на графике, называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Если логарифмический масштаб применен только для оси частот, то говорят, что график АЧХ построен в полулогарифмическом масштабе.

Фазовый угол по оси ординат всегда откладывают в радианах или градусах. Если при этом используется логарифмический масштаб по оси частот, то отображаемую зависимость называют логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

Широкое распространение получил еще один способ графического представления частотных свойств цепей – построение диаграммы амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). Диаграмма АФХ представляет собой годограф (геометрическое место точек, траекторию) конца вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечно большого значения. Для построения годографа находят частотные зависимости действительной и мнимой частей комплексной передаточной функции = + :

 

= ; = .

 

На комплексную плоскость = + наносят точки, соответствующие этим зависимостям (частота задается с определенным шагом в пределах от 0 до ∞). Получаемая в результате кривая АФХ несет информацию одновременно об амплитудно- и фазочастотных свойствах цепи.

Далее приведен пример нахождения частотных характеристик активного четырехполюсника по его операторной передаточной функции.

Пример 3. Найти уравнения АЧХ и ФЧХ активного режекторного фильтра, рассчитанного в примере 2.

Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим из дробно-рационального выражения его операторной функции передачи:

 

= .

 

Положив = , получим выражение для комплексной передаточной функции:

 

= = =

 

= .

 

Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра:

 

= = = .

 

Для нахождения уравнения ФЧХ нужно найти аргумент функции :

 

= = = - .

 

Оставаясь действительным, полином числителя

 

=

 

при частоте режекции = = 65,2·10³ рад/с ( = =10,4 кГц) меняет свой знак. Поэтому = при 0≤ <65,2·10³ рад/с ( <0) и =0 при >65,2·10³ рад/с ( >0).

У полинома знаменателя

 

=

 

действительная часть

 

=

 

также при этой частоте меняет знак. В зависимости от знака действительной части аргумент комплексной функции будет определяться по разным формулам:

 

=

 

при 0≤ <65,2·10³ рад/с ( >0);

 

=π+

 

при >65,2·10³ рад/с ( <0).

Таким образом, уравнение ФЧХ будет выглядеть следующим образом:

 

= π–

при 0≤ <65,2·10³ рад/с;

 

= –π–

 

при >65,2·10³ рад/с.

По полученным уравнениям (задавая с определенным шагом значения и вычисляя соответствующие значения =2π ) можно построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра, а также диаграмму АФХ.