Напряжения в наклонной площадке. Главные напряжения при изгибе и их эпюры.

Для исследования напряженного состояния тела в любой его точке нужно уметь определять напряжения не только на площадках, параллельных координатным плоскостям, но и на наклонных.

Положение бесконечно малой наклонной площадки (рис.1.2) определяется нормалью с направляющими косинусами

Рис.1.2. Напряжения на наклонной площадке

Наклонная площадка и координатные плоскости образуют бесконечно малый тетраэдр Обозначим площадь наклонной площадки через и свяжем с ней площади остальных граней тетраэдра:

Рассмотрим силы, действующие на тетраэдр. На координатных площадках это будут силы от шести составляющих напряжений а на наклонной — силы от трех составляющих полного напряжения Кроме того, по всему объему тетраэдра действуют составляющие объемной силы.

Спроектируем действующие силы на ось х:

Опуская слагаемое третьего порядка малости и разделив все на получим

Аналогичным образом можно получить еще два уравнения, и тогда уравнения равновесия элементарного тетраэдра имеют вид

(1.4)

Уравнения (1.4) позволяют выразить напряжения на любой наклонной площадке с нормалью и направляющими косинусами через шесть направляющих напряжений, параллельных координатным плоскостям.

Если наклонная площадка совпадает с поверхностью тела, то составляющие полного напряжения соответствуют составляющим внешних сил, действующих на поверхности тела. Тогда уравнения (1.4) будут называться условиями на поверхности тела и свяжут внешние силы с внутренними.

Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния

При помощи уравнений (1.4) можно вычислить напряжения на любой наклонной площадке в любой точке внутри тела, если известны составляющие напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям.

Равнодействующая составляющих напряжения на наклонной площадке называется полным напряжением на этой площадке и определяется как геометрическая сумма

(1.5)

Разложим полное напряжение на две составляющих — по нормали к площадке и в ее плоскости (соответственно нормальное и касательное напряжения). Нормальное напряжение равно сумме проекций составляющих полного напряжения, параллельных координатным осям, на направление нормали:

(1.6)

Подставляя значения из (1.4), получим

(1.7)

Выражение (1.7) позволяет определять нормальные напряжения на любой наклонной площадке с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

При этом касательные напряжения на этой площадке будут

(1.8)

Формула (1.8) дает величину касательного напряжения, но не позволяет определить его направление в плоскости площадки.

Определим составляющую касательного напряжения в плоскости площадки с нормалью по направлению с направляющими косинусами Направления и взаимно перпендикулярны, поэтому их направляющие косинусы связаны известным из аналитической геометрии соотношением

(1.9)

Искомое касательное напряжение равно сумме проекций составляющих напряжений на направление :

Подставим в это выражение составляющие напряжения из (1.4):

(1.10)

Выражение (1.10) позволяет определить касательные напряжения на любой наклонной площадке в заданном направлении с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной.

Для такой площадки ( ) из (1.8) следует т.е. на главной площадке полное напряжение совпадает с нормальным как по величине, так и по направлению.

Из условия можно определить величину главных напряжений и положение главных площадок. Обозначим искомое главное напряжение через , спроектируем его на координатные оси и найдем составляющие главного напряжения, параллельные координатным осям:

Сравнивая эти соотношения с (1.4), получим:

(1.11)

Из аналитической геометрии известно соотношение между направляющими косинусами:

(1.12)

Уравнения (1.11) и (1.12) содержат четыре неизвестных: главное напряжение и три его направляющих косинуса.

Преобразуем (1.11) к виду

(1.13)

Эта система имеет ненулевое решение (нулевое решение невозможно в силу (1.11)) тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

Раскрывая определитель и группируя по степеням , получим кубическое уравнение

 

или

(1.14)

где

(1.15)

Решение уравнения (1.14) всегда дает три действительных корня. Наибольший по алгебраическому значению корень обозначается через наименьший — Таким образом

Подставляя значение одного из главных напряжений в (1.13), можно найти направляющие косинусы соответствующей главной площадки.

Обозначим два главных напряжения через , , а их направляющим косинусам придадим значения с соответствующими индексами и дважды запишем уравнения (1.13):

(1.16)

Умножим уравнения (1.16) на соответственно и сложим их:

Т.к. то получаем условие ортогональности главных площадок, на которых действуют и :

Аналогично можно доказать ортогональность главных площадок, на которых действуют другие пары главных напряжений. Таким образом, в каждой точке тела можно выделить по крайней мере три главных площадки, которые взаимно перпендикулярны друг другу.

Величины главных напряжений не зависят от положения координатных осей следовательно, корни кубического уравнения (1.14) не зависят от выбора координатной системы и коэффициенты этого уравнения должны сохранять постоянные значения при преобразовании осей, т.е. они являются инвариантами, поэтому величины называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния.

Если их выразить через главные напряжения (а для этого в (1.15) нужно касательные напряжения принять равными нулю), то получим

(1.17)

В теории напряжений инварианты рассматриваются как основные характеристики напряженного состояния тела в данной точке.

 

 

Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки сосредоточ силой; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой)

1)сосредоточ сила, прилож на конце консоли дает на эп Q скачек на велич силы, а на эп М наклон линию

2) на участках где прилож равномерно распредел нагрузка, эп Q всегда наклонная линия, а эп М квадратич парабола. Эп М на встречу стрелкам, как зонтик.

6) Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки парой сил; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой, парой сил и сосредоточенной силой)

 

1) Сосред сила прилож к балке(посреди) на Q дает скачек на велич силы, а на М излом выпуклостью на встречу силе

 

2) см вопр 5

3) сечение в кот эп Q пересек ось, эп М приним экстимальное значение

7) Методика расчетов на прочность по нормальным напряжениям при изгибе прямых брусьев.

0) Определ. реакции опор и считаем число учстков

1) строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и на эпюре изгиб моментов находи опасные моменты. Под опасным понимается сечение в которых изгиб момент принимает макс. Значение, это справедливо для изотропных и анизотропных материалов с симметричным сечением.

2) Производим расчет по формуле

Для анизотропных симметричных материалов в качесвте допуск. Напряжения берется наименьшее. Для нессиметр. Анизотропных материалов надо производить отдельно расчет, как по допускаемым напряжениям сжатия и на разжатие.