Анализ напряженно-деформированного

Анализ напряженно-деформированного

Состояния в точке тела

 

 

Часть I. Объемное напряженное состояние

 

Напряжения на наклонных площадках

(Условия на поверхности)

 

Рис.11.1

Вырежем из нагруженного тела бесконечно малый тетраэдр с тремя плоскостями, совпадающими с координатными (см. рис. 11.1). Положение в пространстве наклонной пло-щадки определяется нор-малью , направляющие конусы которой обозначим так: Площадку обозначим . Невидимые треугольные пло-щадки, перпендикулярные осям и , обозначим и

определим так:

. (1)

На этих невидимых, отрицательных площадках, действуют положительные напряжения, определяемые . На наклонной площадке действуют компоненты полного напряжения и . Под действием всех напряжений, показанных на рис.11.1, тетраэдр находится в равновесии. Умножая напряжения на площадки, составим уравнение статики

. (2)

Объемные силы и здесь не учитываются, т.к. они пропорциональны объему, который имеет третий порядок малости, а все слагаемые в (2) – второй порядок малости. Подставляя (1) в (2) и сокращая на , получим

. (3)

Составляя уравнения статики и , получим еще два уравнения, которые легко записать, используя кольцевую перестановку и , получим три уравнения равновесия тетраэдра:

(11.1)

Если площадка совпадает с поверхностью тела, то и соответствуют компонентам внешней нагрузки. В этом случае уравнения (11.1) называют условиями на поверхности тела. Они связывают внешние напряжения с внутренними в теле.

 

 

Полное, нормальное и касательное напряжения на

Наклонной площадке

 

На рис. 11.1 показаны компоненты полного напряжения на наклонной площадке . Очевидно, что его численное значение определяется так:

.

Подставляя сюда формулы (11.1), найдем

. (11.2)

Полное напряжение можно разложить на нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что . Напряжение можно найти, проектируя и на нормаль , т.е. . С учетом формул (11.1) получим

. (11.3)

Касательное напряжение можно найти так:

. (11.4)

 

 

Октаэдрические нормальные и касательные

Напряжения

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их , т.к. должно быть .

Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (9) и (10) подстановкой :

;

(11.8)

Рис.11.3

Величину называют часто гидростатическим давлением. С т. О на рис. 11.3 обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные пло-щадки с и показаны три площадки с экстремальными касса-тельными напряжениями и . Легко показать, что

следовательно, и тоже являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.

Наклонных площадках

Рис. 11.4

Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси , т.е. . (12) Получим ПНС в осях , показанное на рис. 11.4. На наклонной площадке действует полное напряжение

, которое можно разложить (см.рис.11.4):

1) на составляющие по осям и , т.е. на и ;

2) на нормальное и касательное напряжения.

Очевидно: . (13)

Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 11.4):

(14)

Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.1), подставляя в них (12) и :

(11.9)

Здесь .

Уравнения (11.9) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.11.4 Определим площадки элемента:

. (15)

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики:

Подставляя (15) и сокращая на , получим формулы (11.9). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см.рис. 11.4):

.

Подставляем (11.9), получим, учитывая, что :

.

Подставляя (14) и учитывая, что , найдем

. (11.10)

Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 11.4):

Подставим (14) и, учитывая, что , окончательно получим

. (11.11)

анализ напряженно-деформированного

Состояния в точке тела