Экстремальные касательные напряжения

Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и (рис.11.5). Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол . Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (11.10) и (11.11), полагая .

Рис.11.5

(18) Из второй формулы (18) видно, что при . (11.14) Подставляя сюда и из формулы (11.12), получим . (11.15)

Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45° к главным и определяются по формулам (11.14) или (11.15).

Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (18), подставляя ():

. (19)

Здесь учтено, что .

§ 11.9. Чистый сдвиг

 

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .

В этом случае экстремальные найдем по (11.14), а нормальные напряжения на этих площадках по (19). Итак

.

Такой случай носит название чистый сдвиг.

Рис. 11.6

Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням действуют только (рис.11.6). Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. 11.6). Используя формулы (11.10) и (11.11), подставляя в них: , , получим: . (11.16)

Из этих формул видно, что при , а это, как известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45° к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

(при ).

 

§ 11.10. Анализ деформированного состояния

Рис.11.7

. Тензор деформации (1.4) представим в симметричном виде (рис.11.7), когда и т.д. Анализ деформи-рованного состояния проведем по аналогии с вышеприведенным анализом

напряженного состояния. Три взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформации тела равны нулю, называются главными осями деформированного состояния. Линейные деформации по этим направлениям называются главными деформациями и обозначаются .

Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (11.5) для определения главных напряжений

. (11.17)

Здесь и инварианты деформированного состояния:

(11.18)

Решение кубического уравнения (11.17) дает три величины главных деформаций .

В случае плоской деформации, когда, например, по аналогии с ПНС формулы (11.12), получим и :

. (11.19)

Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (11.7), для определения экстремальных касательных напряжений:

(11.20)

Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадают с направлениями главных напряжений.

Выясним физический смысл инварианта : Рассмотрим кубик, у которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем . После деформации его объем станет . Относительное изменение объема обозначим :

,

.

Деформации малы, поэтому величины второго и третьего порядка малости можно не учитывать, тогда

. (11.21)

Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.