Применение операторного метода к исследованию электрических цепей

На основе изложенного в §§ 2.1 – 2.3 можно сделать вывод, что использование преобразования Лапласа позволяет упростить исходные функции времени, и особенно операции дифференцирования и интегрирования. В результате решение интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов сводится к решению алгебраических уравнений относительно их изображений.

Отметим аналогию между операторным методом и комплексным методом расчёта цепей синусоидального тока. В обоих случаях операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (либо изображениями по Лапласу, либо комплексными числами). Законы Ома, Кирхгофа в операторной форме (2.18), (2.19), (2.21), (2.22)

аналогичны по форме записи тем же законам в комплексной форме, а операторное сопротивление цепи совпадает с комплексным при замене на .

Если сравнивать классический и операторный методы, то следует заметить, что первый позволяет проще интерпретировать переходный процесс с физической точки зрения, тогда как операторный, подобно другим символическим методам, является сугубо формальным.

Как показывает опыт, расчёт переходных процессов в цепях первого и второго порядка классическим методом, как правило, проще, чем операторным. В цепях более высокого порядка из-за трудностей, возникающих при нахождении постоянных интегрирования в классическом методе, более рациональным является операторный метод. Последний широко применяется также в том случае, когда к цепи приложена внешняя ЭДС сложной формы (отличной от постоянной и синусоидальной), так как упрощается определение принуждённой составляющей переходного тока (напряжения).

Важнейшей характеристикой четырёхполюсника является передаточная функция* – отношение изображения по Лапласу выходного напряжения ко входному при нулевых начальных условиях (рис. 2.5 а). . (2.28)

не зависит от и определяется только схемой цепи. Она удобна для составления уравнений и исследования линейных систем.

 

*

 

Кроме принятого здесь обозначения передаточной функции [1,3,5], используются другие обозначения: [2, 4], [10], .

Передаточная функция системы выражается через передаточные функции отдельных её звеньев. Например, если четырёхполюсники (звенья) соединены последовательно (рис. 2.5 б), то передаточная функция системы из звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев

. (2.29)

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме их передаточных функций . (2.30)

Передаточные функции широко применяются не только для решения задач анализа, но и для обоснования методов синтеза линейных электрических цепей [3, 4].