Расчёт переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

 

 

а)

Рис. 3.2

Пассивный двухполюсник (рис. 3.2, а) включается на непрерывно изменяющееся напряжение (рис. 3.2, б). Требуется найти ток в произвольной ветви двухполюсника после замыкания ключа.Введём переменную , по которой будем вычислять интеграл Дюамеля, а через обозначим некоторый (текущий) момент времени, в который будем определять ток

Заменим непрерывную кривую ступенчатой функцией и просуммируем составляющие искомого тока, вызванные начальным скачком напряжения и всеми последующими скачками , сдвинутыми на время друг относительно друга.

Напряжение вызовет ток , где - переходная проводимость, определённая для ветви, в которой вычисляется

Элементарный скачок напряжения (рис. 3.2, б) может быть выражен через производную а ток, вызванный скачком в момент времени , равен

Суммируя составляющие тока от всех скачков на интервале времени до и переходя от суммы к интегралу при получим (3.10)Эта формула называется интегралом Дюамеля. С её помощью можно найти также и напряжение, если вместо использовать Если теперь провести замену переменной в подынтегральной функции (3.10):

и вновь заменяя x на , получим вторую форму интеграла Дюамеля (3.11)Интегрируя по частям выражение (3.10) обозначив при этом получим третью форму интеграла Дюамеля

. (3.12) Наконец, интегрируя по частям (3.11), найдём четвёртую форму интеграла Дюаме (3.13)При расчетах рекомендуется выбрать из формул (3.10-3.13) ту, которая даёт наиболее простое подынтегральное выражение. К примеру, в заданиях на курсовую работу [12] в которых внешнее воздействие задано в виде отрезков прямых, целесообразно использовать выражение (3.10), так как производная от линейной функции даёт постоянное число.

Пример 3.4

 

а) б)

Рис. 3.3

Напряжение в цепи (рис. 3.3, а) изменяется по линейному закону

Найти законы изменения тока в цепи и напряжение

Выбираем формулу (3.10), в которой (пример 3.2);

(3.14)

(3.15)

График тока приведён на рис. 3.3, в, на рис. 3.9.

Рассмотрим применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения на входе пассивного двухполюсника (рис. 3.2). Напряжение задано в виде кусочно-непрерывной функции (рис. 3.4).

Требуется найти ток в одной из ветвей двухполюсника: переходная проводимость ветви известна.

При заданном внешнем воздействии (рис. 3.4) переходный процесс с помощью интеграла Дюамеля рассчитывают для трёх интервалов времени.

Для первого интервала времени

где - закон изменения в первом интервале без учёта скачка при .

Для второго интервала времени

где - закон изменения во втором интервале, слагаемое учитывает скачок напряжения (со знаком “минус”) в момент времени .

Для третьего интервала времени

слагаемое учитывается положительный скачок напряжения в момент времени .