Включение RLC-цепи на постоянное напряжение

Заданы параметры цепи (рис. 1.21): R, L, C; напряжение U; независимые начальные условия:

, (1.41)

Требуется найти ток i и

Рис. 1.21 напряжения , , .

Составим интегродифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре

. (1.42)Для получения дифференциального уравнения выразим ток i через напряжение : ; (1.43)Общее решение уравнения (1.43) имеет вид ; .

Свободная составляющая является общим решением однородного уравнения

.(1.44)Соответствующее характеристическое уравнение

или

. (1.45)

Как уже отмечалось ранее в § 1.4 характеристическое уравнение (1.45) проще составить, записав для цепи комплексное входное сопротивление

.

При .

Приравняв к 0, получим характеристическое уравнение (1.45).

Корни уравнения (1.45)

, (1.46)

где – коэффициент затухания, – резонансная частота.

Решение однородного уравнения (1.44) зависит от вида корней и . Из (1.46) следует, что корни могут быть вещественными неравными (), вещественными равными () и комплексно-сопряжёнными (). Соответственно различают три случая свободного процесса в цепи (рис. 1.21):

1. Апериодический случай – корни и – вещественные, отрицательные и неравные

; или .

Каждый из корней даёт независимое решение, и свободная составляющая напряжения на ёмкости

, (1.47)

где A и B – постоянные интегрирования. Переходное напряжение примет вид

, (1.48)

а переходный ток в контуре

. (1.49)

Найдём постоянные интегрирования и , используя начальные условия (1.41) и законы коммутации,

; . (1.50)

Для момента из (1.48) и (1.49) следует

;

ил

отку ; . (1.52)

Подставив и в (1.48) и (1.49), получим

; (1.53)

;

Так как в (1.46) , . (1.54)

Переходные напряжения и найдём по формулам

; .

Графики переходного процесса для , и построены на рис. 1.22, а, б.

 

Рис. 1.22, а

 

 

Рис. 1.22, б

 

Найдём максимум (амплитуду) импульса переходного тока (рис. 1.22, б)

.

Приравняв эту производную нулю, получим время этого максимума

.

Подставив в формулу (1.54), найдём .

3. Предельный апериодический (критический) случай: корни и (1.46) – вещественные, отрицательные и равные,, .

В этом граничном случае выражение для просто получить из формулы (1.57), используя предельный переход при и раскрывая неопределённость по правилу Лопиталя

. (1.66)

. (1.67)

Графики переходного процесса для этого случая показаны на рис. 1.25, а, б.

Рис. 1.25, а	Рис. 1.25, б

Из формулы (1.66) и графика (рис. 1.25, а) видно, что напряжение устанавливается дольше, чем при апериодическом заряде ёмкости при равных в обоих случаях постоянных времени и . При расчёте по формуле (1.66) напряжение отличается от при на , при на , при на . Таким образом, время переходного процесса можно считать близким к .

В практических случаях представляет интерес амплитуда импульса тока, которым заряжается конденсатор.

Приравняв производную нулю, найдём и .

Из равенства , при котором корни характеристического уравнения становятся равными, находят граничное значение сопротивления , которое называют критическим,

. (1.66)

При переходный процесс имеет апериодический характер, при процесс становится колебательным. Добротность контура в критическом режиме

Контур с добротностью называют колебательным.

34. Расчет разветвленных магнитных цепей

Расчеты основаны на применении з-нов Кирхгофа для магн. цепей. расчеты обычно ведут граф. аналитическими методами, аналогично расчетам нелинейных эл. цепей. Используется принцип эл.-магн. аналогии.

Прямая задача: Задан поток в воздушном зазоре Ф₃. Требуется определить намагничивающий ток.

По известному потоку Ф вычисляем индукцию , по кривой намагничивания найдем напряженность магн. поля H₃ и по формуле напряжонность поля в воздушном зазоре. Магнитное напряжение 3й ветви, т.е. м/д узлами a и b

. Т.к. 2я и 3я ветви соединены параллельно, то и H ₂ l ₂= U _{м ab}. Вычисляем , по кривой намагничивания найдем B ₂.

Поток , а поток , Вычисляем магн. индукцию и по кривой намагничивания найдем напряженность магн. поля H ₁. По 2му з-ну Кирхгофа, искомая н.с. ;

Обратная задача: Определение всех потоков по заданной МДС. Решается граф. методом пересечений.

 

 

36, Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии.

Пусть ВАХ Нелин. сопр. аппроксимирован полиномом 1ой степени

(1)

Выводы:

1) ток через Нелин. сопр. = сумме гармоник с частотами кратными частоте напр., при этом порядок высшей гармоники = степени полинома n аппроксимирующего ВАХ Нелин. сопр.

2) Нелин. цепь генерирует колеб. частоты кот. отличается от частоты внешнего воздействия.

3) Нелинейность ВАХ цепи явл. причиной нелинейн. искажений например в усилителях переем. тока.

Малый сигнал.

В тех случаях когда изменение токов и напр. Нелин. элементов происходит в окресности некот. Ра. точки О. на узком участке ВАХ достаточно ограничиться аппроксимацией ВАХ лишь в окрестности выбранной раб. точки. Пусть I₀, U₀ ток и напр. в раб. точке лежащей на ВАХ линейного элемента i=f(u). Значение тока i соответствует нек. новому знач. напр u можно представить в виде ряда Тейлора

Если приращение напр. и тока весьма малы, то можно ограничиться полиномом 1й степени

т.е. ВАХ линиаризирован в близи раб. точки. Такой режим назыв. режимом малого сигнала.

I₀ – ток покоя; - статическое вопр. в раб. точке.

-диф. сопр. перем. току в режиме малого сигнала

1. В режиме малого сигнала Rст и r_диф рассматриваются как линейные, а нелинейность цепи проявляется при выборе рабочей точки от кот. зависит Rст и r_диф.

2. В режиме малого сигнала отдельно по постоянному и переем. току. Сопр. пост. току рассматривается как статич. а переем. току как диф. Результат представляют в виде суперпозиций решений для перемен тока.

Большой сигнал:

В режиме большого сигнала постоянная составляющая тока отличается от тока покоя и переменная составляющая содержит гармоники высших порядков, причем амплитуда первой гармоники токов Im1 не пропорциональна Um1 и раздельный анализ цепи по постоянному и переменному току становится невозможен.

Нелин. сопр при одновременном воздействии 2х гармонических сигналов различн. частот. ост. с частотами и назыв. колеб. комбинационных частот. Способность нелин. резистивных элем. преобразовывать частоту сигналов с обр. пост. сост. и колебаний кратных и комбинационных частот шиороко используется для получения различных радио устр-в, а именно преобр. частоты, смесителей, модуляторов и демодуляторов. (Выражение выше получается по формуле

37, РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Преобразование Лапласа и его свойства

Основой операторного метода является интегральное преобразование Лапласа

, где – вещественная функция времени (напряжение или ток), удовлетворяющая условиям Дирихле и равная нулю при , называемая оригиналом; – функция комплексной переменной (комплексной частоты) , называемая изображением по Лапласу. Сокращённо формулу (2.1) (прямое преобразование Лапласа функции ) записывают в виде . Связь между и обозначают также, как , где «» – знак соответствия.

Что касается ограничений, налагаемых на условиями Дирихле, то реальные напряжения и токи им всегда удовлетворяют.

Найдём изображения для простейших функций времени (напряжений).

1. ;

. Таким образом .

2. ;

.3. .

4. , (2.5)

откуда ; (2.6) . (2.7)

5. . (2.8)6. . (2.9)

Подробные таблицы изображений функций приведены в [1,4,13].

Рассмотрим без вывода два важных свойства преобразования Лапласа.

1. Теорема дифференцирования. Изображение первой производной функции равно изображению функции, умноженному на , минус значение функции при .

. (2.10)

В частном случае, когда , . (2.11)

Теорема интегрирования. Изображение интеграла функции равно изображению этой функции, делённому на .

. (2.12)