Изображения по лапласу напряжений на резисторе, индуктивности и ёмкости

Найдём изображения напряжений для простейших цепей (рис. 2.1 а, б, в), используя обозначения: ; .

 

В цепи на рис. 2.1 а мгновенные напряжение и ток связаны законом Ома

, и изображение имеет вид .

Операторная схема замещения цепи рис. 2.1 а показана на рис. 2.2 а.

, где Z-комплексное сопротивление.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX:

Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На

вмс. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R,L, С и источник ЭДС е(t). Замыкание ключа К. в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i=i(0_) и напряжение на конденсаторе Uс=Uc(0_). Запишем падение напряжения на участке цепи: Заменим на , на =>

Перейдём к изображениям:

Тогда падение примет вид: после преобр

 

 

-закон Ома в операторной форме

ð - комплексный корень характеристического уравнения

Данная запись закона справедлива для присутствия ЭДС в цепи и для ненулевых начальных условий.

- внутр ЭДС (запас энергии в магнитном поле катушки)

- внутр ЭДС (запас энергии в электрич поле кондёра)

- закон Ома в оперной форме для отсутсвия ЭДС и для нулевых начальных условий.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

1) алгебраическая сумма мгновенных значений токовсходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

, т.е. , а в операторной форме .

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

Предварительно выбираем направление обхода контура и направления токов в ветвях:Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Катушки включены согласно, но из-за того что токи в ветвях направлены в разные стороны появляется знак минус. Падение напряжения на равно ,на по аналогии.

На кондёре есть начальное напряжение примем его согласно току .

тогда получаем следующее уравнение:

Все слагаемые заменим операторными изображениями:

После преобразований запишем в свёрнутом виде:

где: В общем виде второй закон Кирхгофа в операторной форме следующий:

39, пПорядок расчёта переходных процессов операторным методом. Переход от изображений к оригиналам

Расчёт операторным методом ведётся в следующей последовательности:

В исходной цепи до коммутации определяются независимые начальные условия: и . Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации, на которой все ЭДС, напряжения и токи заменяются их изображениями [ , , ]; индуктивности и ёмкости заменяются операторными схемами с внутренними ЭДС (рис. 2.2 а, б). Ключ на схеме не показывают.

Определяются изображения искомых токов и напряжений любым, подходящим для составленной схемы методом расчёта цепей постоянного тока.

Осуществляется обратный переход от изображений к оригиналам (функциям времени) либо с помощью таблиц изображений функций (формул соответствия), например (2.2)–(2.9), либо с использованием теоремы разложения.

Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Если изображение тока (или напряжения) имеет вид рациональной дроби

, (2.23)

причём ; и – вещественные числа; дробь несократимая, т.е. многочлены и не имеют общих корней, то оригинал находится по формуле

, (2.24)

где – различные и не равные нулю корни уравнения ; .

Если в знаменателе выражения (2.23) нет множителя (отсутствует нулевой корень), то формула разложения (2.24) принимает более простой вид

. (2.25)

Заметим, что уравнение совпадает с характеристическим уравнением цепи, а наличие нулевого корня в выражении (2.23) свидетельствует о том, что оригинал – переходный ток (напряжение) содержит принуждённую составляющую, равную .

Если уравнение содержит комплексно-сопряжённые корни и , то достаточно определить слагаемое сумм в формулах (2.24) или (2.25) только для одного корня , а для корня взять значение, сопряжённое этому слагаемому. Тогда сумма этих слагаемых будет равна удвоенному значению вещественной части, найденной для корня .Когда среди корней уравнения есть несколько одинаковых (кратных) корней, формула разложения усложняется. В этом случае рекомендуется пользоваться таблицами изображений функций по Лапласу. В частности, если уравнение в (2.25) имеет два равных корня , то определить оригинал можно по формуле (2.9).

В большинстве практических задач использование формул разложения (2.24), (2.25) является основным способом перехода от изображений к оригиналам.

В тех случаях, когда требуется найти только начальное и установившееся значения тока, т.е. и , то, не прибегая к вычислениям по формулам (2.24), (2.25), можно использовать следующие предельные соотношения:

и . (2.27)

Формулы (2.26) и (2.27) позволяют просто определить и , если установившийся процесс непериодический, и могут быть использованы также для контроля за правильностью вычислений на стадии получения изображений.