Пассивные дифференцирующие цепи

10,

11.

Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция

Единичная ступенчатая функция (синонимы: единичная функция, единичный скачок, единичное ступенчатое воздействие, функция включения, функция Хевисайда) изображена на рис. 3.1, а

 

а) б) в)

Математическая запись единичной ступенчатой функции

(3.1)

Единичная импульсная функция (синонимы: единичный импульс, дельта-функция , единичное импульсное воздействие, функция Дирака) определяется как производная по времени от единичной ступенчатой функции

(3.2) не является функцией в обычном смысле, а рассматривается как обобщённая, обладающая интегральными свойствами

(3.3)Единичная импульсная функция- чётная функция, равная нулю при всех значениях , кроме точки , в которой она имеет бесконечное значение (рис. 3.1, б); площадь равна единице. Так как везде, кроме ,то

(3.4)В бесконечно малой окрестности точки непрерывная функция постоянна и равна ; вынося за знак интеграла и используя формулу (3.3), получим (3.4). Можно также записать, что (3.5)где -единичная импульсная функция, смещённая на время (рис. 3.1, в).

Выражения (3.4) и (3.5) описывают фильтрующее (стробирующее) свойство функции .

Единичная ступенчатая функция и единичная импульсная функция относятся к семейству разрывных или особых функций и используются для идеализированного представления сигналов.

Эти сигналы, часто называемые в теории цепей единичный скачок напряжения и единичный импульс, обычно выбираются в качестве типового внешнего воздействия (возмущения), приложенного ко входу цепи (системы), при котором переходный процесс носит наиболее неблагоприятный характер.

Кроме того, при помощи интеграла Дюамеля и интеграла свёртки они позволяют вычислить реакцию цепи на любое внешнее возмущение.

Пример 3.6

На входе цепи (рис. 3.8) действует экспоненциальное напряжение

Рис. 3.8

Найти напряжение на индуктивности

, где

Используя (3.16), найдём

(3.18)

 

25,

26,

 

 

 

 

 

 

 

 

27,

 

 

28,

 

 

 

29, Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Действующие значения несинусоидального тока и несинусоидального напряжения. По определению, квадрат действующего значения тока I выражают через мгновенное значение тока i следующим образом:

Если ток

 

то

 

но

 

Поэтому

 

 

Так как амплитуда k-гармоники тока I_km в Ö2 раз больше действующего значения тока k-гармоники I_k, то

 

 

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов сдвига фаз j действующее значение тока не зависит.

Аналогично, действующее значение несинусоидального напряжения U равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник:

Активная и полная мощности несинусоидального тока.

Под активной мощностью P несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:

 

 

Если представить напряжение u и ток i рядами Фурье:

 

 

Подставить эти ряды под знак интеграла и проинтегрировать, то можно получить

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

Полная мощность S равна произведению действующего значения несинусоидального напряжения на действующее значение несинусоидального тока: S=U*I

где

 

30, Единичная ступенчатая функция (синонимы: единичная функция, единичный скачок, единичное ступенчатое воздействие, функция включения, функция Хевисайда)

Законы коммутации

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут изменяться скачком, а являются непрерывными функциями времени, т.е.

Равенства (1.1) и (1.2) выражают аналитически соответственно первый и второй законы коммутации.

В схеме на рис. 1.2 а происходит коммутация в цепи постоянного тока, содержащей индуктивность. Ток в цепи до коммутации ; ток в установившемся режиме после окончания переходного процесса .

 

На основании первого закона коммутации,

На рис. 1.2 б показан постепенный, непрерывный процесс установления тока в цепи после замыкания ключа S.

На рис. 1.3 поясняется второй закон коммутации.

В схеме на рис. 1.3 а за время переходного процесса напряжение на ёмкости непрерывно изменяется от значения до (рис. 1.3 б).

В момент переключения в цепи при t=0 должен выполняться второй закон коммутации

.

С физической точки зрения законы коммутации являются частными проявлениями общего закона природы – закона непрерывности энергии. Энергия магнитного поля, запасённая в индуктивности , и энергия электрического поля, запасённая в ёмкости , не могут изменяться скачком. Действительно, скачкообразное изменение или влечёт за собой скачкообразное изменение или . В этом случае мгновенные мощности в индуктивности в ёмкости равны бесконечности, что лишено физического смысла, так как реальные источники энергии не могут развивать бесконечно большую мощность. С другой стороны, если допустить, что в момент коммутации ток (или напряжение ) изменяется скачком, то напряжение на индуктивности (ток в ёмкости ) примет бесконечно большое значение, и в цепи не будет выполняться второй (или соответственно первый) закон Кирхгофа.

Заметим, что ток в ёмкости и напряжение на индуктивности не являются носителями энергии, поэтому законам коммутации не подчиняются и могут изменяться скачком.

Малый сигнал.

В тех случаях когда изменение токов и напр. Нелин. элементов происходит в окресности некот. Ра. точки О. на узком участке ВАХ достаточно ограничиться аппроксимацией ВАХ лишь в окрестности выбранной раб. точки. Пусть I₀, U₀ ток и напр. в раб. точке лежащей на ВАХ линейного элемента i=f(u). Значение тока i соответствует нек. новому знач. напр u можно представить в виде ряда Тейлора

Если приращение напр. и тока весьма малы, то можно ограничиться полиномом 1й степени

т.е. ВАХ линиаризирован в близи раб. точки. Такой режим назыв. режимом малого сигнала.

I₀ – ток покоя; - статическое вопр. в раб. точке.

-диф. сопр. перем. току в режиме малого сигнала

1. В режиме малого сигнала Rст и r_диф рассматриваются как линейные, а нелинейность цепи проявляется при выборе рабочей точки от кот. зависит Rст и r_диф.

2. В режиме малого сигнала отдельно по постоянному и переем. току. Сопр. пост. току рассматривается как статич. а переем. току как диф. Результат представляют в виде суперпозиций решений для перемен тока.

Большой сигнал:

В режиме большого сигнала постоянная составляющая тока отличается от тока покоя и переменная составляющая содержит гармоники высших порядков, причем амплитуда первой гармоники токов Im1 не пропорциональна Um1 и раздельный анализ цепи по постоянному и переменному току становится невозможен.

Нелин. сопр при одновременном воздействии 2х гармонических сигналов различн. частот. ост. с частотами и назыв. колеб. комбинационных частот. Способность нелин. резистивных элем. преобразовывать частоту сигналов с обр. пост. сост. и колебаний кратных и комбинационных частот шиороко используется для получения различных радио устр-в, а именно преобр. частоты, смесителей, модуляторов и демодуляторов. (Выражение выше получается по формуле

37, РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Преобразование Лапласа и его свойства

Основой операторного метода является интегральное преобразование Лапласа

, где – вещественная функция времени (напряжение или ток), удовлетворяющая условиям Дирихле и равная нулю при , называемая оригиналом; – функция комплексной переменной (комплексной частоты) , называемая изображением по Лапласу. Сокращённо формулу (2.1) (прямое преобразование Лапласа функции ) записывают в виде . Связь между и обозначают также, как , где «» – знак соответствия.

Что касается ограничений, налагаемых на условиями Дирихле, то реальные напряжения и токи им всегда удовлетворяют.

Найдём изображения для простейших функций времени (напряжений).

1. ;

. Таким образом .

2. ;

.3. .

4. , (2.5)

откуда ; (2.6) . (2.7)

5. . (2.8)6. . (2.9)

Подробные таблицы изображений функций приведены в [1,4,13].

Рассмотрим без вывода два важных свойства преобразования Лапласа.

1. Теорема дифференцирования. Изображение первой производной функции равно изображению функции, умноженному на , минус значение функции при .

. (2.10)

В частном случае, когда , . (2.11)

Теорема интегрирования. Изображение интеграла функции равно изображению этой функции, делённому на .

. (2.12)

Пассивные дифференцирующие цепи

Линейные пассивные четырёхполюсники при определённых условиях могут использоваться для получения сигналов требуемой формы.

Наиболее широкое применение получили четырёхполюсники, называемые д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и м и и и н т е г р и р у ю щ и м и ц е п я м и. У первых напряжение на выходе приблизительно пропорционально производной, у вторых - интегралу от входного напряжения. Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 4.1, а и 4.1 б.

где Для цепи на рис. 4.1 б где

Изображение напряжения на выходе обеих схем

(4.3)

Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.1) и (4.2) не является дифференцирующим звеном, однако при выполнении условия

,

и в соответствии с теоремой дифференцирования (2.11),

т.е. цепи на рис. 4.1 и 4.2 будут практически дифференцирующими.

Точность дифференцирования зависит от степени выполнения неравенства (4.4) или при неравенства Она тем выше, чем меньше постоянная времени цепи ( или ) и чем ниже - верхняя частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение , как следует из выражения (4.6), снижается пропорционально уменьшению

В другом предельном случае при напряжение на выходе цепей рис. (4.1) и (4.2) мало отличается от входного. Такие цепи называют р а з д е л и т е л ь н ы м и.

При исследовании переходных процессов в цепях при воздействии импульсных сигналов удобно верхнюю граничную частоту спектра выразить через длительность входного импульса

Теоретически спектр импульса любой формы является бесконечным, однако на практике его ограничивают диапазоном частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Так, спектр прямоугольного импульса ограничивают частотой при этом в полосе частот от 0 до заключено 90,2% его энергии [7]. Примерно такую же ширину спектра имеет другой импульс со скачком – экспоненциальный. У импульсов плавной формы (синусоидальной, треугольной) спектр несколько меньшей протяжённости, однако для ориентировочных оценок граничную частоту спектров импульсов любой формы обычно принимают равной (с запасом)

(4.8)

или (4.9)

Таким образом, с учётом формулы (4.8) условие точного дифференцирования примет вид

или (4.10)

Формула (4.10) применима для периодической последовательности прямоугольных импульсов, а также для сигналов амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), так как ширина их спектра определяется только длительностью импульсов

Теоретически постоянная времени цепи может быть выбрана сколь угодно малой, однако в реальных схемах величина ограничена снизу внутренним сопротивлением источника входного сигнала и паразитной ёмкостью нагрузки , шунтирующий выход цепи; и необходимо учитывать при выборе параметров дифференцирующей -цепи (рис. 4.1 а, б) [5].

Пример 4.1

На вход цепи (рис. 4.1 а) подаётся сигнал в виде одиночного прямоугольного импульса (рис. 4.2 а). Построить временные диаграммы выходного напряжения для различных отношений к длительности входного импульса.

В примере 3.5 рассчитан ток в цепи. Выражения для выходного напряжения в схеме (рис. 4.1 а) имеют вид

при . (4.11)

При . (4.12)

На рис. 4.2 а-е по формулам (4.11) и (4.12) построены кривые для значений равных: а) ; б)10; в)1,0; г)0,3; д)0,05; е)0.

Формулы (4.11) и (4.12) и графики справедливы также для

RL-цепи (рис. 4.1 б) при

Временные диаграммы (рис. 4.2) наглядно показывают преобразование формы сигнала на выходе цепи во всем диапазоне изменения отношения от

При (рис. 4.2 б) цепь является разделительной; её назначение– пропускать сигнал без существенных переходных искажений.

При (рис. 4.2 д) - цепь приближается к дифференцирующей. Чем меньше отношение , тем короче экспоненциальные импульсы на выходе цепи в моменты скачков входного напряжения. Результат идеального дифференцирования прямоугольного импульса в виде двух дельта-функций показан на рис. 4.2 е.

 

Обратимся к области применения четырехполюсников, приведенных на рис. 4.1 и 4.4.

Дифференцирующие цепи, отвечающие условию (4.7) , обычно используют для получения коротких импульсов с крутыми фронтами, а не для аналогового дифференцирования в установившемся режиме. Они работают в режиме наибольших переходных искажений, поэтому более точное название таких цепей укорачивающие (о б о с т р я ю - щ и е), а в импульсной технике – у с к о р я ю щ и е (ф о р с и р у ю щ и е) цепи.

Длительность выходного импульса , обычно отсчитываемая на уровне 0,5 , называется а к т и в н о й ( на рис. 4.2 д).

Для экспоненциального импульса откуда

Разделительные цепи, удовлетворяющие неравенству , где - нижняя частота спектра входного сигнала, предназначены для передачи сигналов через четырёхполюсник с допустимыми переходными искажениями.

Цепь на рис. 4.1 а используется для разделения переменной и постоянной составляющих сигнала, например в цепях межкаскадной связи в усилителях переменного тока. Импульсный трансформатор на рис. 4.4 применяется в качестве согласующего; для изменения полярности импульсов; обеспечивает гальваническую развязку входной и выходной цепей и т. д.

Переходные искажения разделительных четырёхполюсников характеризуются относительным спадом вершины импульса ():

(4.16)

Разложив в степенной ряд (1.23) и ограничившись двумя членами этого ряда, что справедливо для малых (), получим приближённую формулу для при В примере 4.1 на рис. 4.2 б показан спад вершины импульса для случая При этом и погрешность формулы (4.16) составляет 5%. Для сигнала на рис. 4.2 в формула (4.17) не пригодна:

.

Сравнивая RC-цепь с RL-цепью (рис. 4.1 а, б), отметим, что конструкция и настройка первой схемы при её реализации проще, чем схемы с индуктивной катушкой, и RC-цепь имеет преимущественное применение. Тем не менее можно привести ряд примеров использования дифференцирующей RL-цепи. Так, в импульсных усилителях применяется простая и эффективная ВЧ индуктивная коррекция, расширяющая полосу пропускания усилительного каскада в области верхних частот и уменьшающая искажения фронта импульса [8]. В импульсной технике находят применение дифференцирующие трансформаторы (пример 4.3).

Передаточная функция идеального дифференцирующего усилителя не может быть реализована из-за ограниченной полосы пропускания и конечного коэффициента усиления реального ОУ. Кроме того, схема на рис. 4.9 а может самовозбудиться из-за спада коэффициента усиления ОУ на высоких частотах и дополнительных фазовых сдвигов, вносимых цепью ОС [5]. Уменьшение с увеличением частоты приводит к тому, что схема дифференцирующего усилителя имеет высокий коэффициент усиления на верхних частотах, даже за пределами полосы частот полезного сигнала. Поэтому, наряду с ВЧ составляющими спектра входного сигнала, схема усиливает собственные шумы и внешние помехи, которые накладываются на полезный сигнал и искажают его.

В схеме интегратора на рис. 4.9 б смещение нуля выходного напряжения из-за разбаланса ОУ, а также наличие входных токов смещения, обусловленных конечным значением входного сопротивления, ограничивают максимальную длительность интегрирования, так как с течением времени напряжение ошибки будет нарастать. Из-за конечного значения коэффициента усиления ОУ напряжение на выходе интегратора изменяется по экспоненциальному закону, а не строго линейно (при интегрировании перепада напряжения), однако при этом постоянная времени экспоненты и выходное напряжение приблизительно в раз больше, а погрешность интегрирования в раз меньше, чем у пассивной интегрирующей цепи при тех же номиналах R и C.

На практике применяют модифицированные схемы дифференцирующего устройства и интегратора (рис. 4.10 а, б).

Чтобы избежать проявления нежелательных свойств четырёхполюсника на рис. 4.9 а, используют скорректированную схему (рис. 4.10 а), которая дифференцирует сигналы до частоты , является усилителем с в полосе частот от до и интегратором на частотах выше .

 

 

Такой четырёхполюсник, представляющий собой интегродифференцирующее звено, можно использовать в качестве полосового фильтра.

Улучшенная схема интегратора показана на рис. 4.10 б. Резисторы и позволяют уменьшить ошибку интегрирования, вызванную разностью входных токов и напряжением смещения нуля ОУ. Для сброса интегратора на нуль (при отсутствии ) перед началом интегрирования конденсатор С кратковременно закорачивают с помощью электронного ключа , выполненного на микросхеме или МОП - транзисторе.

Интеграторы широко применяют при создании генераторов линейно изменяющегося и синусоидального напряжений, точных фазосдвигающих устройств, в качестве ARC - фильтров нижних частот и др.

Изображение напряжения на выходе обеих схем

(4.3)

Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.1) и (4.2) не является дифференцирующим звеном, однако при выполнении условия

,

и в соответствии с теоремой дифференцирования (2.11),

т.е. цепи на рис. 4.1 и 4.2 будут практически дифференцирующими.

Точность дифференцирования зависит от степени выполнения неравенства (4.4) или при неравенства Она тем выше, чем меньше постоянная времени цепи ( или ) и чем ниже - верхняя частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение , как следует из выражения (4.6), снижается пропорционально уменьшению

В другом предельном случае при напряжение на выходе цепей рис. (4.1) и (4.2) мало отличается от входного. Такие цепи называют р а з д е л и т е л ь н ы м и.

При исследовании переходных процессов в цепях при воздействии импульсных сигналов удобно верхнюю граничную частоту спектра выразить через длительнь входного импульс

Теоретически спектр импульса любой формы является бесконечным, однако на практике его ограничивают диапазоном частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Так, спектр прямоугольного импульса ограничивают частотой при этом в полосе частот от 0 до заключено 90,2% его энергии [7]. Примерно такую же ширину спектра имеет другой импульс со скачком – экспоненциальный. У импульсов плавной формы (синусоидальной, треугольной) спектр несколько меньшей протяжённости, однако для ориентировочных оценок граничную частоту спектров импульсов любой формы обычно принимают равной (с запасом)

или Таким образом, с учётом формулы (4.8) условие точного дифференцирования примет вид или Формула (4.10) применима для периодической последовательности прямоугольных импульсов, а также для сигналов амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), так как ширина их спектра определяется только длительностью импульсов Теоретически постоянная времени цепи может быть выбрана сколь угодно малой, однако в реальных схемах величина ограничена снизу внутренним сопротивлением источника входного сигнала и паразитной ёмкостью нагрузки , шунтирующий

4

 

. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС: Устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. U_ab=IR

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС. Обобщенный закон Ома: Закон (правило) Ома для участка цепи содержащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов концах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС. Законы Кирхгофа: 1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:

2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утека­ющих от узла токов. Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура: 2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

т.е.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряже­ний.

R и некоторую мнимую часть jX:

Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На

вмс. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R,L, С и источник ЭДС е(t). Замыкание ключа К. в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i=i(0_) и напряжение на конденсаторе Uс=Uc(0_). Запишем падение напряжения на участке цепи:

на , на =>

Перейдём к изображениям:

Тогда падение примет вид:

после преоб

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

1) алгебраическая сумма мгновенных значений токовсходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

, т.е. , а в операторной форме .

Второй закон Кирхгофа в операторной форме: