Кривые линии и их проекционные свойства.

7.1. Основные понятия и определения

Кривую линию можно представить как траекторию точки, перемещающейся в пространстве или на плоскости,

Кривая линия так же может быть получена в результате пересечения поверхности с плоскостью или двух поверхностей между собой,

Кривые линии могут быть плоские, т.е. такие, все точки которых принадлежат одной плоскости и пространственные, точки которых не принадлежат одной плоскости.

Примерами плоских кривых являются: окружность, эллипс, парабола. Примером пространственной кривой является винтовая линия,

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому - нибудь закону.

Если, при этом, кривая в декартовой системе координат определяется алгебраическим уравнением, то она называется алгебраической. Примерами алгебраических кривых являются окружность, эллипс, парабола, гипербола. Степень уравнения кривой определяет порядок кривой.

Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек, Точки кривой определяются их координатами.

На чертеже кривая задается своими проекциями. Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить их между собой в той же последовательности, в какой они располагались на оригинале, При задании кривой ее проекциями необходимо указать, по крайней мере, проекции одной точки, принадлежащей кривой (рис.7.1.).

По чертежу кривой в общем случае можно без дополнительных построений определить пространственная она или плоская. На рис.7.1. кривая а пространственная, т.к. она имеет конкурирующие точки С, D. Если по чертежу не понятно, плоская кривая или пространственная, требуются дополнительные построения. На кривой нужно выбрать три произвольные точки и проверить, лежит ли любая четвертая точка кривой в плоскости, определяемой первыми тремя. Кривая m, изображенная на рис.7.2. пространственная, т.к. точка М(М¢, М²) не лежит в плоскости a заданной точками А, В, С этой кривой.

 

7.2. Некоторые свойства проекций пространственных и

Плоских кривых

Если точка А принадлежит кривой m, то проекция этой точки А¢ принадлежит проекции m¢ кривой. Секущая и касательная к кривой проецируются соответственно в секущую и касательную к проекции кривой. Пусть через точку А кривой m проведена секущая n (рис.7.3.).

Проекция секущей определяется точками А¢ и В¢ принадлежащими проекции m¢ рассматриваемой кривой. Прямая n¢, пересекающая проекцию кривой, является по отношению к m¢ секущей. Касательную t можно рассматривать как предельное положение секущей, которое занимает последняя при сближении точек пересечения А и В в одну точку, В этом случае совпадут друг с другом и их проекции, т.е. проекция n¢ секущей превратиться в касательную t¢ к проекции m кривой.

Проекции плоских кривых

Чтобы наиболее точно передать форму кривой линии, при построении ее проекций необходимо, прежде всего, отложить характерные точки. Такими точками являются особые точки кривой, а так же точки наиболее удаленные от плоскостей проекций и наиболее близкие к ним.

Точка кривой называется обыкновенной, если в этой точке к кривой можно провести единственную касательную. На рис.7.4. такой точкой является точка М.

Рис.7.4.

Другие точки называют особыми (точки А, В). К ним относятся точки возврата (рис.7.5,а,б.), точки самопересечения (рис.7.5,в.), точки перегиба (рис.7,5,г.), точки излома (рис.7.5,д,е.).Особым точкам плоской кривой соответствуют такие же точки на ее проекции. Кривая, состоящая только из обыкновенных точек, называется плавной кривой.

На рис.7.6. выполнено построение горизонтальной проекции l¢ кривой линии 1, принадлежащей плоскости a(h,f) по заданной фронтальной 1². Точки А, К, N, D, Е - характерные. А - точка, наиболее удаленная от горизонтальной плоскости проекции, К - точка, наиболее удаленная от фронтальной плоскости проекций, Е - самая низкая, D - точка возврата, N - точка прекращения.

Точки В, С - промежуточные. Все точки кривой строятся по условию принадлежности их плоскости.