Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей

Пересечением поверхностей называется кривая, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям.

В начертательной геометрии линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приема, которым называется способом вспомогательных секущих поверхностей.

Этот способ заключается в следующем,

Пусть надо построить линию пересечения двух поверхностей Ф₁ и Ф₂. Выбирается третья поверхность Ф. Затем находится линия пересечения поверхностей Ф и Ф₁, Ф и Ф₂. Вид и расположение поверхности Ф относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получились простые по форме линии (прямая или окружность), чтобы проекции этих линий было легко построить. Последовательность действий можно представить алгоритмом:

1)Выбор вспомогательной секущей поверхности Ф;

2)ФÇФ₁= m₁, ФÇФ2 = m_2;

3)m₁Çm₂ = M, m₁Çm2 = N...

Полученные точки М, N и т.д. принадлежат обеим поверхностям одновременно, следовательно, принадлежат искомой линии пересечения.

 

9.2. Метод секущих плоскостей

При построении линии пересечения двух поверхностей методом секущих плоскостей в качестве вспомогательной секу-щей поверхности выбирается плоскость. Вспомогательная плоскость выбирается таким образом, чтобы она пересекала данные поверхности по прямым или окружностям. Алгоритм в этом случае будет следующим:

Рис.9.2.

1) Выбор вспомогательной плоскости a;

2) Находим линии пересечения Ф₁Ça =m₁, Ф₂Ça=m₂;

3) m₁Çm₂ = A, m₁Çm₂ = В, … и т. д. (Рис.9.2.)

Применение метода секущих плоскостей при

Решении задач

На рис.9.3. даны конус и полусфера.

В данном случае в качестве вспомогательных секущих плоскостей необходимо выбрать плоскости, параллельные горизонтальной плоскости проекций, так как такие плоскости пересекают конус и полусферу по окружностям.

Рис.9.3.

Чтобы начать построение линии пересечения необходимо начать построение линии пере-сечения необходимо найти опор-ные точки: самую высокую и самую низкую в данном случае. В других случаях это может быть самая левая или самая правая точки. Пересечем обе поверхности плоскостью b½½V и проходящей через оси вращения поверхностей. В результате получим линии пересечения, которые являются фронтальными очерками данных поверхностей. Точка пересечения очерков 1 является точкой, принадлежащей линии пересечения.

Так как основания обеих поверхностей лежат в одной плоскости, то точки пересечения окружностей 2 и 3 также являются общими точками для данных поверхностей.

Точки 1,2,3 являются опорными, точка 1 - самая высокая, точки 2, 3- самые низкие. Теперь обе поверхности пересечем плоскостью a, расположенной ниже точки 1 и выше точек 2 и 3. Эта плоскость a пересечет обе поверхности по окружностям n₂ и m₂ найдем точки пересечения полученных окружностей n₂Çm₂ = 4,:n₂ Ç m₂ = 5.

Точки 4,5 принадлежат линии пересечения конуса и полусферы. Повторив это действие, необходимое число раз, построим линию пересечения данных поверхностей.

Метод концентрических сфер

В этом случае в качестве вспомогательных секущих поверхностей выбираются концентрические сферы.

Применение этого метода основано на следующем свойстве: Две поверхности вращения, имеющие общую ось (соосные поверхности), пересекаются по окружностям. Действительно, кривая m образует поверхность вращения с осью вращения i, кривая n образует вторую поверхность вращения с той же осью i. Если mÇn = А, то точка А опишет окружность, которая является общей для обеих поверхностей, следовательно, является линией их пересечения. (Рис.9.4.)

Если ось i перпендикулярна плоскости Н, то окружность, описываемая точкой А, проецируется на фронтальную плоскость проекций в отрезок, а на горизонтальную плоскость в окружность.

Из сказанного можно сделать следующие выводы:

1. Для того, чтобы вспомогательная секущая сфера пересекала по окружностям две заданные поверхности вращения, центр сферы должен лежать в точке пересечения осей этих поверхностей.

2. Если оси заданных поверхностей вращения параллельны плоскости проекций, то окружности пересечения вспомогательной секущей сферы с этими поверхностями проецируется на эту плоскость в отрезки.

 

Теперь можно сформулировать условия, необходимые для применения метода концентрических секущих сфер:

1. Данные поверхности должны быть поверхностями вращения;

2. Оси вращении данных поверхностей должны пересекаться;

3. Плоскость, проходящая через оси вращения данных поверхностей, должна быть параллельна какой - нибудь плоскости проекций.

Построение линии пересечения начинается с построения опорных точек (Рис.9.5.). Чтобы построить опорные точки надо построить сферу минимального радиуса. Сфера минимального радиуса вписана в одну поверхность и пересекает вторую.

Общие точки С и Д окружности касания с конусом и окружности пересечения с цилиндром являются опорными точками. К опорным точкам относятся также точки пересечения фронтальных очерков данных поверхностей. Отрезок O²F² где f² наиболее удаленная от точки О² точка пересечения очерков данных поверхностей определяет сферу максимального радиуса.

Для построения промежуточных точек необходимо выбрать сферу радиуса R, где R_min< R< R_max.

1. Для этого из центра О²= i²₂ Ç i²₁ нужно провести окружность произвольного радиуса, являющейся проекцией сферы.

2. Построим линию пересечения сферы с конусом. Это будет окружность, которая на фронтальную плоскость проекций проецируется в отрезок. Затем построим линию пересечения сферы с цилиндром. Это тоже окружность, которая тоже проецируется в отрезок, точки пересечения А и В данных окружностей являются точками пересечения цилиндра и конуса. Для построения других промежуточных точек нужно из точки О² описать ряд концентрических окружностей и проделать те же построения.

 

 

Метод эксцентрических сфер

Рассмотрим пересечение конуса и тора (рис.9.6.). Ось конуса параллельна V, а ось вращения тора j перпендикулярна V. Ocь конуса i и круговая ось тора q лежат в общей плоскости симметрии d, параллельной плоскости V. По отношению к плоскости V плоскость d является главной меридиональной плоскостью Поэтому плоскость d пересекает конус по образующим, а тор - по двум дугам окружности. Оба сечения проецируются на плоскости V очерковыми линиями проекций тора и конуса. Очерковые линии пересекаются в точках 1² и 2², которые являются проекциями точек 1 и 2, принадлежащими линии l пересечения рассматриваемых поверхностей. Эти точки являются опорными. Проведем через ось тора j плоскость Г. Плоскость Г пересечет тор по окружности р, а его круговую ось - в точке С. Окружность р проецируется на плоскость V отрезком р², равным ее диаметру.

Рис.9.6.

Определим точки 3 и 4 пересечения окружности р с поверхностью конуса. Для этого заключим окружность р в вспомогательную сферу. Центр сферы должен находиться на оси конуса. Только в этом случае сфера пересечет конус по окружности, по тому проекцию центра сферы О² найдем как точку пересечения касательной С²О² к центровой окружности тора с осью конуса. Радиус сферы равен R. Сфера пересечет конус по окружности р_ь Окружность кольца р и окружность p₁ конуса располагаются на одной сфере и, следовательно, пересекается в точках 3 и 4, принадлежащих искомой линии пересечения конуса и тора.

Другие точки, принадлежащие пересечению конуса с тором, строятся по только что рассмотренному алгоритму с помощью других радиальных плоскостей.