Вопрос 11. Операции над векторами

Для раскрытия первого вопроса достаточно дать определения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, пере­числить их основные свойства (которые в ряде учебных пособий представлены в виде теории), и представить доказательство некоторых свойств. Необходимо знать специфические свойства каждого из произведений. Например, некоторые свойства скалярного произведения векторов совпадают с соответствующими свойствами произведе­ния чисел: а*в= в* а, а*(в+с}=а*в+а*с. Но скалярное произведение обладает и особыми свойствами, которыми не обладает произведение чисел. Вот некоторые из них: а) Скалярное произведение двух векторов есть число, множественное. Объект не той природы, что сомножители, а другой, б) Для чисел, если х-y=о, то это означает, что одно из чисел равно нулю. Аналогичного свойства для векторов нет. в) Ес­ли a¹о, то числовое уравнение ах=b имеет единственное решение (х=b/2).Но уравнение для скалярного произведения в-в a=х=b не имеет смысла (а для векторного произведения вопроса не имеет). Затем целесообразно перечислить приложение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов к решению задач. Например, векторное произведение векторов находит свое, применение при нахождении площади треугольника, смешанное произведение - объема тетраэдра и привести примеры задач.

При ответе на этот вопрос от студента требуется знание основных понятий, включая понятия вектора, базиса векторов, линейно за­висимые и линейно независимые векторы, линейной комбинации векторов. Необходимо знать, как выражается различное произведение векторов через координаты вектора.

Теорема 1: Скалярное произведение векторов и , заданные в ортонормированном базисе, выражается формулой:

.

Теорема 2: Если векторы в ортонормированном базисе имеют координаты , то , где = 1, если базис правый, и = -1, если базис левый

Теорема 3: Если векторы и в ортонормированном правом базисе имеют координаты и , то вектор [ ]имеет координаты:

[ ] Докажем это.

Пусть координаты вектора [ ] (x,y,z).

Тогда [ ]=

[ ] =

[ ] =

[ ] =

С учетом предыдущей теоремы и условий ортонормированности базиса(), получили

X= ; Y= ; Z= что и требовалось доказать.

Основные определения:

Направленный отрезок (упорядоченную пару точек) называют вектором. Обозначают АВ или Здесь A – начало вектора, B – конец вектора. Расстояние между началом и кон­цом вектора называют его длиной (или модулем, или абсолютной ве­личиной). Обозначают | АВ | или | |. Если точки А и В совпадают, то вектор называют нулевым и обозначают знаком Его модуль равен нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на па­раллельных прямых (или на одной прямой). Ненулевые коллинеарные векторы либо имеют одно и тоже направление и называются в этом случае сонаправленными, или одинаково направленными, либо имеют противоположные направления и называются противоположно на­правленными. Векторы называются компланарными, если они ле­жат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два ненулевых вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. От каждой точки можно отложить единственный вектор, рав­ный данному.

Над векторами можно выполнять следующие операции:

1) Сложение векторов.

Суммой а + b двух векторов a и b называется вектор, кото­рый идет из начала вектора a в конец вектора b, при условии, что вектор b отложен от конца вектора a. Это построение называется правилом треугольника. Сумма векторов a + b не зависит от вы­бора начала вектора a.

Если векторы а и b приведены к общему началу и на них по­строен параллелограмм, то сумма а + b есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала векто­ров а и b. Это построение называется правилом параллелограмма.

2) Вычитание векторов.

Разностью векторов а и b называетсятакой вектор x, что b+x=a. Если векторы а и b имеют общее начало, то их разность есть вектор, идущий из конца вектора b в конец вектора a.

Изобразим перечисленные правила на чертеже.

 

3)Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора a на действительное число a¹0 называется вектор b, обозначаемый b= a а, и определенный следующими условиями

1. | b | = | a| | а |

2. Вектор b коллинеарен вектору a.

3. Векторы b и a направлены одинаково, если a > 0 и противоположно, если a <0.Если a = или a=0, то полагают a a = .

Система векторов а₁, а₂, …,а_m называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа с₁, с₂, …,с_m, одновре­менно не равные нулю, что имеет место равенство c₁ a ₁+с₂ a ₂+..с_m a_m = 0. В противном случае эта система векторов называется линейно не­зависимой.

Имеют место следующие теоремы:

Т1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и на­оборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Т2. Три компланарных вектора линейно зависимы и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.

Т3. Каждые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базисом на плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости. Базисом в пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим систему векторов a ₁, a ₂,…., a_m и зададим m действи­тельных чисел c₁, с₂, …,с_m. Вектор b = c₁ a ₁+с₂ a ₂+…+с_m a_m называется линейной комбинацией данных векторов a ₁, a ₂,…, a_m.

Т4. Пусть на плоскости выбран базис е₁, е_2. Тогда любой вектор а этой плоскости можно представить, и притом единственным обра­зом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Т5. Пусть в пространстве выбран базис е₁, е₂, е₃. Тогда любой вектор а пространства можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Если е_1, е_2, е₃ – базис и вектор а = a₁ е₁ + a₂ е₂ + a₃ е₃, то числа a_1, a_2, a₃ называются координатами вектора а в данном базисе. Записыва­ется а (a_1, a_2,a₃). Равные векторы имеют равные координаты.

Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства:

1) При умножении вектора а = a₁ е₁+ a₂ е₂ +a₃ е₃ на число l его координаты умножаются на это число: l а =(la₁) е₁+( la₂) е₂ +(la₃) е_3.

2) При сложении (вычитании) векторов а = a₁ е_{1 +} a₂ е₂ +a₃ е₃ и b = b₁ е_{1 +} b₂ е₂ +b₃ е₃ складываются (вычитаются) их соответствующие координаты: а ± b = (a₁ ± b₁) е₁ + (a₂ ± b₂) е₂ + (a₃ ± b₃) е₃

Углом между двумя ненулевыми векторами а и b, где a = ОА, b=OB называется меньший угол АОВ между этими векторами.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называ­ется число, равное произведению длин векторов-сомножителей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается (а,b).

По определению, (а, b) = | a | |b | cos a, где a- угол между век­торами а и b. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. (а, b) = (b, a) для любых а и b

2. (а, a) = а ² = | a |²для любого a

3. Если a ¹ , b ¹ , a =p / 2, то (а, b) = 0. Если a ¹ , b ¹ , (а,b)=0, то a ^b

4. (l а, b) = (а, l b) = l (а, b) для любых а и b.

5. (а, b + c) = (a, b) + (а, c) для любых а, b,с

Пусть в прямоугольной системе координат в пространстве век­торы а и b заданы своими координатами: а (X_1, Y_1,Z₁), b (X_2, Y_2,Z₂). Тогда (а, b) = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

Обозначим через a, b, g углы, которые составляет вектор а с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а. При этом справедливы следующие соотношения: X = | а | cosa, Y = | а | cosb, Z = | а | cosg, где X, Y, Z – координаты вектора а.

Упорядоченная тройка ненулевых векторов а_1, а_2, а₃ – с общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден в направле­нии, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Векторным произведением ненулевого вектора а на ненулевой вектор b называется вектор с, определенный следующими условиями:

1) | c | = | a | | b | sin a (a - угол между векторами а и b)

2) c перпендикулярен к плоскости векторов а и b, если они приведены к общему началу.

3) если с ¹ , то вектор с направлен так, чтобы тройка векторов а, b, c была правая.

Обозначается a´b или [ a, b ].

Свойства векторного произведения:

1. [ a, b ] = - [ b, a ] для любых а и b.

2. [ l a, b ] = [ a, l b ] = l [ a, b ] для любых а и b и любого l.

3. [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ] для любых а, b, с.

4. a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда [ a, b ] =

Модуль векторного произведения ненулевых и неколлинеарных векторов а и b, приведенных к общему началу, численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если век­торы а и b в ортонормированном правом базисе имеют координаты а (a₁,a₂,a₃), b (b₁,b₂,b₃), то вектор [ a, b ] имеет координаты [ a, b ](a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁- a₁b₃, a₁b₂- a₂b₁).

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, которое получается при умножении векторного произведения [ a, b ] скалярно на вектор с. Оно обозначается ([ a, b], c). Смешанное произведение некомпланарных ненулевых векторов a, b, c по модулю численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, если они приведены к общему началу. Оно положи­тельно, если тройка векторов a, b, c правая, и отрицательно, если она левая. Верно и обратное утверждение. Три вектора компланарны то­гда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Свойства смешанного произведения:

1. ([ a, b], c) = (a, [b, c]) - для любых а, b,с.

2. Круговая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет его значения. Перестановка же двух со­седних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный.

Пусть в прямоугольной системе координат векторы a, b, c за­даны своими координатами: а (X_1, Y_1,Z₁), b (X_2, Y_2,Z₂), с (X_3, Y_3,Z₃). Тогда