Правила записи приближенных чисел

 

Для решения инженерных задач часто приходится определять различные числа, как точные, так и приближенные. При этом требуется, чтобы погрешность, возникающая при округлении была бы минимальной.

Пусть некоторое десятичное число представлено его разложением

 

,

 

где 10^S – единица разряда S, a_S – цифра разряда, S – номер разряда.

Все цифры числа от первой слева, неравной нулю, до последней цифры справа называются значащими цифрами.

Например, пусть заданы следующие числа:

 

a₁ = 2.67; a₂ = 0.267; a₃ = 0.00267; a₄ = 0.26700

 

Тогда для a₁, a₂, a₃ имеем 3 значащие цифры и для a₄ - 5 значащих цифр.

Если крайние справа нули не считают значащими, то число записывают в экспоненциальной форме:

,

 

где m - экспонента, p – порядок числа.

Значащая цифра числа a_S называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда S, т. е.

 

.

 

Если абсолютная погрешность числа не указана, то все его значащие цифры считают верными.

Под округлением числа а будем понимать его замену числом а’, которое имеет меньшее количество значащих цифр, чем исходное число а. Округление должно производиться таким образом, чтобы возникающая ошибка была минимальной.

Для оценки величины ошибки вводят следующие характеристики:

- абсолютная погрешность округления ;

- относительная погрешность округления .

При необходимости могут использоваться их предельные значения:

 

; .

 

Если округляется приближенное число, то погрешность полученного числа включает две составляющие:

- погрешность округления;

- погрешность исходного числа.

Округление чисел производится по следующим правилам.

5. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется.

6. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

7. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, и за ней идут не нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

8. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней равны нулю, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная, и не изменяется, если она четная.

 

4. Погрешность суммы и разности приближенных чисел

 

Абсолютная погрешность алгебраической суммы или разности нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел:

 

;

.

 

Предельная абсолютная погрешность суммы или разности определяется следующим образом:

 

;

.

 

Оценим относительную погрешность суммы приближенных чисел. Пусть Х₁, Х₂ - точные числа одного знака, х₁, х₂ - их приближения. Тогда

£ (1)

 

где .

Предельная относительная погрешность суммы двух чисел вычисляется как

 

, (2)

 

где .

Формулы (1) и (2) можно обобщить на случай произвольного количества слагаемых:

 

 

Таким образом, при суммировании чисел одного знака не происходит потери относительной точности, что видно из приведенных соотношений.

Оценка относительной погрешности для разности двух чисел осуществляется по формуле

 

£ nd_max,

 

Где

 

; .

Формулы для предельных относительных погрешностей имеют вид:

 

 

Очевидно, что для разности приближенных чисел относительные погрешности возрастают в n раз, где n > 1. При этом возможна существенная потеря точности, которая происходит в том случае, если числа X₁, X₂ настолько близки, что их сумма значительно превышает их разность . Тогда n >> 1, что приводит к полной или почти полной потере точности. Такая ситуация называется катастрофической потерей точности.

 

5. Погрешности произведения и частного приближенных чисел

 

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу

 

,

 

для a = x₁x₂...x_n или a = x₁/x₂, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:

 

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

 

 

Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

 

;

 

6. Погрешность функции

 

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

погрешность вычислительный приближенный функция

.

 

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

dx₀ << 1 и df(x₀) << 1.

 

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

 

7. Погрешность функции нескольких переменных

 

Пусть y = f(x₁, x₂, …, x_n) – приближенное значение функции от приближенных аргументов , , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .

Для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x₁ являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :

 

,

 

где производная определяется по x₁. Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :

 

.

 

В итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:

 

.

 

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

 

dx_i << 1 (i = ); d f(x₁, x₂, …, x_n) << 1.

 

8. Обратная задача теории погрешностей

 

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.

Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

 

.

 

все слагаемые из правой части принимаются равными:

 

 

Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:

 

 

Список литературы

 

1. Адаптивные телеизмерительные системы, под ред. А. Б. Фремке, М. 1981 г.

2. Левин, Плоткин, Цифровые системы передачи информации, 1982 г.

3. Свиридов Н. Г. Проектирование РТС передачи информации Рязань, РРТИ, 1988 г.

Размещено на Allbest.ru

Примеры решения задач

Задача 1. Даны координаты вершин . , , .

Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения прямых и и их угловые коэффициенты;

3) угол ;

4) уравнение прямой, содержащей высоты и ее длину;

5) уравнение прямой, содержащей медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ;

6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне ;

7) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно прямой .

Решение:

1. Расстояние между точками и определяется по формуле: . Значит, длина стороны

.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид: . Подставляя в равенство координаты данных точек, получим уравнения прямых и

: :

Получили уравнения прямых линий с угловым коэффициентом, из которых имеем: ; .

3. Тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и , вычисляется по формуле: .

Угол располагается при пересечении прямых и , значит,

; =135°

4. Высота проходит через точку и перпендикулярна прямой . Значит, нормальный вектор

прямой является направляющим вектором для прямой .

Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор :

Значит, уравнение прямой :

 

Для того, чтобы найти длину высоты , необходимо определить координаты точки – точки пересечения прямых и . Для этого надо решить систему уравнений:

:

:

В результате вычислений получены координаты точки .

5. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медианы , определим сначала координаты точки как середину стороны , применяя формулы, характеризующие деление отрезка пополам:

;

Тогда уравнение прямой :

И, наконец, координаты точки находятся при решении системы уравнений:

; .

6. Если две прямые параллельны, то можно сказать, что их уравнения отличаются только свободным членом. Значит, уравнение прямой, параллельной стороне , будет:

Известно, что эта прямая проходит через точку , значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению искомой прямой:

И тогда уравнение прямой будет иметь вид:

или после деления на 3:

7. По условию точка симметрична точке относительно высоты , то есть точка является серединой отрезка . Воспользуемся уже известными формулами для определения координат середины отрезка:

; ; .

и

 

Значит, .

и .

 

Задача 2.

 

Даны вершины пирамиды: , , , . Необходимо найти:

1. длину стороны ;

2. площадь грани ;

3. угол ;

4. уравнение прямой ;

5. уравнение плоскости грани ;

6. уравнение высоты, опущенной из точки на грань , и ее длину;

7. точку, симметричную точке относительно грани ;

8. объем пирамиды.

Решение:

1. Длина стороны вычисляется по известной формуле:

.

2. Для нахождения площади грани следует воспользоваться формулой, выражающей геометрический смысл векторного произведения:

В нашей задаче

3. Угол равен

4. В пространстве уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет следующий вид:

, где t – некоторый параметр.

Тогда уравнения прямой можно записать так:

, , .

5. Плоскость грани можно описать как плоскость, проходящую через три точки , , и имеющую уравнение

Подставляя координаты точек и вычисляя определитель, получим уравнение грани :

6. Каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором имеет вид:

По условию, прямая (высота), проходит через точку и перпендикулярна грани . Значит, вектор нормали к плоскости будет являться направляющим вектором искомой прямой.

Чтобы найти длину высоты, можно воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости :

В нашей задаче точка имеет координаты , а уравнение плоскости:

.

7. Найдем координаты точки пересечения высоты, опущенной из точки на грань , с самой гранью. Для этого запишем уравнения высоты в параметрическом виде и, подставив выражения , , через параметр в уравнение плоскости , найдем значение параметра :

, ,

.

Подставив в параметрическое уравнение высоты, найдем координаты точки :

;

Пусть – точка, симметричная точке относительно грани , тогда точка – середина отрезка . Подставляя координаты точек в известные формулы для определения координат середины отрезка, получим координаты точки :

, ,

, ,

, ,

.

8. Объем пирамиды следует рассчитать по формуле, выражающей геометрический смысл смешанного произведения векторов:

 

 

Задача 3. Даны координаты точек: и . Требуется:

1) составить уравнение гиперболы, проходящей через эти точки, если ее фокусы расположены на оси ;

2) найти полуоси, эксцентриситет, фокусы;

3) написать уравнение гиперболы в полярной системе координат;

4) найти уравнения директрис и асимптот;

5) написать уравнения касательных к гиперболе в точке , в точке .

Решение:

1. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию, точки и лежат на гиперболе, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставляя в уравнение координаты данных точек, получим систему двух уравнений относительно неизвестных и .

Решая систему, например, способом сложения, получим: и . И тогда искомое уравнение имеет вид:

.

2. Полуоси гиперболы – это числовые значения a и b: и . Координаты фокусов гиперболы, расположенных на оси , определяются таким образом: и , где : . Значит, координаты фокусов данной гиперболы: , .

Эксцентриситет гиперболы – это число . Определяем его: .

3. В полярной системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

.

Подставляем известные значения:

.

4. Директрисы гиперболы имеют уравнения , в данном случае это будут прямые и .

Прямые, заданные уравнениями и , называются асимптотами гиперболы; в данной задаче уравнения имеют вид: и .

5. Уравнение касательной к гиперболе, заданной уравнением , в точке , лежащей на гиперболе, имеет вид: . Для оно таково: .

Точка не принадлежит гиперболе. Уравнение касательной можно записать в виде (так как касательная – это прямая линия). Точка лежит на касательной, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: ; .

И тогда уравнение касательной будет следующим: . Касательная и гипербола имеют единственную общую точку. Попробуем решить систему уравнений:

,

.

Вычисляем дискриминант квадратного уравнения:

Так как прямая и гипербола имеют одну общую точку, то это уравнение имеет единственное решение и :

Значит, касательные задаются уравнением и .

Задача 4. Определить вид заданной линии второго порядка, найти ее центр, векторы оси асимптотического направления, главные направления и главные диаметры.

.

Решение:

Для определения вида заданной линии второго порядка упростим общее уравнение линии, чтобы свести к каноническому. Такое упрощение достигается при переходе к канонической системе координат посредством поворота осей системы на определенный угол и переноса начала в нужную точку.

Поворот осей исходной системы необходим лишь при присутствии в уравнении линии слагаемого, содержащего произведение , и он реализуется на такой угол, чтобы уравнение линии в новой системе координат не содержало произведения. Такая система координат всегда присутствует, а направления осей этой системы называются главными направляющими линии II порядка.

В полученном после соответствующих преобразований уравнении необходимо выделить полные квадраты и реализовать перенос начала полученной системы координат.

Таким образом, реализуется двойной переход:

1) от системы к системе ;

2) от системы к системе .

Единичные векторы главных направлений линии имеют координаты

, .

Для их нахождения, а, следовательно, для упрощения уравнения заданной линии используем общую схему приведения уравнения линии II порядка к каноническому виду.

Решаем характеристическое уравнение данной линии:

.

Его корни и .

Находим угловые коэффициенты главных направлений:

.

Из курса тригонометрии известны формулы

.

Найдем координаты векторов и :

и .

Очевидно, что наша линия второго порядка поворачивается на угол . Преобразования координат при повороте на угол будут следующими:

,

.

В новой системе координат уравнение принимает вид:

,

,

,

.

Выделяя полные квадраты и преобразовывая, получаем уравнение эллипса в системе координат :

.

Координаты нового начала координат – центра линии II порядка – в системе следующие: . Для нахождения координат центра линии в исходной системе координат необходимо решить систему уравнений:

. Центр имеет координаты .

Вектор асимптотического направления должен иметь координаты , удовлетворяющие условию:

,

.

Для удобства выберем угловой коэффициент прямой асимптотического направления , получим уравнение , которое не имеет корней, значит, у данной линии асимптотических направлений нет, что и должно быть: эллипс не имеет асимптотических направлений. Необходимым и достаточным условием главного направления является условие

,

,

.

Пусть и – угловой коэффициент главного направления,

, .

, значит, первый вектор главного направления имеет координаты , аналогично вторым вектором будет вектор .

Главные диаметры описываются уравнениями:

,

: – ,

,